1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinslimas chiziqli tenglamalar.

(2.1)
tenglama berilgan bo’lsin, bunda p va q –’aqiqiy sonlar.
I. (2.1) tenglamaning o’ng tomoni ko’rsatkichli funksiya bilan ko’pxad ko’paytmasidan iborat, ya’ni
(2.2)
ko’rinishda bo’lsin, bunda darajali ko’pxad. Bu vaqtda quyidagi xususiy xollar bo’lishi mumkin:
(2.3)
xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmagan xol.
Bu holda xususiy echimni
(2.4)
ko’rinishda izlash kerak.
Xakikatdan xam, y^* ni tenglamaga qo’yib xamda barcha xadlarini ko’paytuvchiga qisqartirib,
(2.5)
tenglikka ega bo’lamiz, bunda n-darajali ko’pxad n-1 darajali ko’pxad, esa n-2 darajali ko’pxad.
Shunday qilib, tenglik ishorasining o’ng va chap tomonlarida n-darajali ko’pxadlar turibdi. Bir xil darajali x lar oldidagi koeffisientlarni bir biriga tenglab (noma’lum koeffitsientlar soniga teng), noma’lum koeffitsientlarni topish uchun tenglamalarining soni (n+1) ta bo’lgan sistema hosil qilamiz.
b) xarakteristik tenglamaning oddiy (bir karrali) ildizi bo’lgan xol.
Agar bu holda biz xususiy yechimni (2.4) ko’rinishda izlamoqchi bo’lsak u holda (4) tenglikning chap tomonida (n-1) –darajali ko’pxad hosil qilingan bo’lar edi, chunki va ko’pxadlarning darajalari n dan kichik bo’lar edi. Demak, koeffitsientlarning hech qanday qiymatlarida (2.5) tenglik ayniyat bo’lmas edi. Shuning uchun, qaralayotgan holda, xususiy yechimni ozod xadsiz (n+1)-darajali ko’pxad shaklida olish kerak (chunki bu ko’pxadning ozod hadi differensiallashda yo’qolib ketadi).
.
v) son xarakteristik tenglamaning ikki karrali ildizi bo’lgan xol. Bu holda funksiyani differentsial tenglamaga kuyish natijasida ko’pxadning darajasi ikki birlik pasayadi. Xakikatdan xam agar - xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa u’olda
Bundan tashqari, ikki kirrali ildiz bo’lgani uchun 2 =-p (chunki elementar algebraning ma’lum teoremasiga muvofiq, keltirilgan kvadrat tenglamanin ildizlarini yig’indisi birinchi darajali noma’lumning teskari ishora bilan olingan koeffitsientiga teng).
Sunday qilib, (2.6)
Demak, (2.5) tenglikning chap tomonida ya’ni (n-2)- darajali ko’pxad koladi. Urniga kuyish natijasida n – darajali ko’pxad hosil kilish uchun xususiy yechimni ye bilan (n+2)-darajali ko’pxadning ko’paytmasi shaklida izlash kerak. Bunda ko’pxadning ozod xadi xamda uning birinchi darajali xadi differentsiallaganda yukolib ketadi; shuning uchun ularni xususiy yechim tarkibiga kiritmasa xam bo’ladi.
Shunday qilib, xarakteristik tenglamaning ikki karrali ildizi bo’lgan holda xususiy yechimni
.
3)Birinchi tartibli tenglamalarga keltiriladigan ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarning ba’zi tiplari.
(*) ko’rinishdagi tenglama noma’lum u funksiyani oshkor holda o’z ichiga olmaydi.
Yechish. hosilani r bilan belgilaymiz, ya’ni
Bu holda
hosilalarning bu ifodalarini (*) tenglamaga qo’yib, x ning noma’lum r funksiyasiga nisbatan birini tartibli

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning
r=r(x,s₁)
umumiy yechimini topamiz, bundan keyin munosabatdan (*) tenglamaning

3.