1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Tekshirish uchun savollar

1. 
   n-tartibli umumiy ko’rinishi.
   
2. 
   n-tartibli uzgarmas koeffitsientli bir jinsli tenglamalar.
   
3. 
   Xarakteristik tenglama ko’rinishi.
   
4. 
   Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va har hil bo’lganda yechim ko’rinishi.
   
5. 
   Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va xar xidd yechim ko’rinishi.
   
6. 
   Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va ichida karralisi bor bo’lgan xolda.
   
7. 
   Eyler formulasi.
   
8. 
   Xarakteristik tenglamani ildizlari kompleks bo’lgan xol.
   
9. 
   tenglamani yeching.
   
10. 
    tenglamani yeching.
    

10-MA’RUZA:
O’ng tomoni maxsus ko’rinishda bo’lgan o’zgarmas koeffisientli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar.
Reja:

1. 
   Bir jinsli bo’lmagan tenglama.
   
2. 
   Tenglamaning o’ng tomoni maxsus ko’rinishga ega bo’lgan hollar.
   
3. 
   O’zgarmasni variasiyalash usullari.
   

Ushbu
(1)
tenglamani yechish masalasi bilan tanishamiz.
tenglamani umumiy yechimi, mos bir jinsli
(2)
tenglamaning umumiy yechimi bilan (1) tenglamaning xusisiy yechimi yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni
y= + (3)

6. 
   - (1) ning xususiy yechimi.
   

- (2) ning umumiy yechimi.
Bundan tashqari q(x) maxsus ko’rinishga ega bo’lsa - xususiy yechimni noma’lum koeffitsientlar usulida topish mumkin:
a)
ko’rinishda bo’lsa,
(4)
deb olib (1) tenglamaga qo’yiladi va mos koeffitsientlar tenglanadi
(5)
(5) dan B_i­ - o’zgarmaslar topilib (4)ga qo’yiladi . (1)ning umumiy yechimi (3) ko’rinishda ifodalanadi.
b)
ko’rinishda bo’lsa, u holda
1)  - xarakteristik tenglamani ildizi bo’lmasa
ko’rinishda,
2)  - xarakteristik tenglamani k - karrali ildizi bo’lsa

ko’rinishda izlanadi va a) holdagi kabi B_i - koeffitsientlar topiladi.
Agar
(6)
ko’rinishda bo’lsa (bunda P_m va Q_m lar x ga nisbatan m- tartibli ko’phad bo’lib, kamida bittasining darajasi m ga teng).
Bunda ushbu formuladan foydalanamiz:
(7)
shunga ko’ra (6) ni quyidagicha yozamiz

q(x) funksiyani (1) ga qo’ysak, tenglamaning o’ng tomoni 2 ta funksiya yig’indisidan iborat bo’ladi.
Shu o’rinda ushbu ma’lumotni keltiramiz:
Agar (1) tenglamaning o’ng tomoni ikkita funksiya yig’indisidan iborat bo’lsa, q(x)=f₁(x)+f₂(x) bo’lib, y₁ funksiya L(u)=f₁(x) tenglamaning, y₂ funksiya L(u)=f₂(x) tenglamaning yechimlari bo’lsa, u holda u₁+u₂ funksiya
L(u)=f₁(x)+f₂(x)
tenglamaning yechimi bo’ladi.
Ushbu ma’lumotni eotiborga olib, quyidagi ikkita holni qaraymiz
a) soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, u holda xususiy yechim
(8)
ko’rinishda qidiriladi.
b) soni (1) tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bo’lsa, u holda xususiy yechim
(9)
ko’rinishda qidiriladi.
Bunda R_m(x) va N_m(x) lar m tartibli noma’lum koeffitsientli ko’phadlar. (8), (9) formulalarni haqiqiy yechimlarga o’tkazsak, mos holda

va

ko’rinishlarni oladi. R_m(x) va N_m(x) ko’phadlarning koeffitsientlari yuqorida ko’rsatilgan usulda topiladi.