1-ma’ruza. Hisoblash tizimlari: a o’nlik va ikkilik hisoblash tizimlari va ular ustida amallar reja

X=aan-1……a1, a0, a-1, a-2….a-m quyidagicha yozish mumkin:
X=a*Pn+an-1*Pn-1+…+a1*P1+a0*P0+a-1*P-1+….+a-m*P-m
Bu erda 0 ≤ai≤P-1 bo’ladi.
1.2. O’nlik va ikkilik hisoblash tizimlari

	Sanoq sistemalari
	2	3	4	5	6	8	10	16
Son	0	0	0	0	0	0	0	0
	1	1	1	1	1	1	1	1
	10	2	2	2	2	2	2	2
	11	10	3	3	3	3	3	3
	100	11	10	4	4	4	4	4
	101	12	11	10	5	5	5	5
	110	20	12	11	10	6	6	6
	111	21	13	12	11	7	7	7
	1000	22	20	13	12	10	8	8
	1001	100	21	14	13	11	9	9
	1010	101	22	20	14	12	10	A
	1011	102	23	21	15	13	11	B
	1100	110	30	22	20	14	12	C
	1101	111	31	23	21	15	13	D
	1110	112	32	24	22	16	14	E
	1111	120	33	30	23	17	15	F
	10000	121	100	31	24	20	16	10

1.1-jadvalda ba’zi bir sanoq sistemalarining sonlari orasidagi bog’lanish berilgan
1.1-jadvalga e’tibor beradigan bo’lsak, 8 lik sanoq sistemasining raqamlarini 2 lik sanoq sistemasida ifodalash uchun ikkilikning kamida 3 ta raqami kerak bo’lar ekan. Bu uchtalik triada deb ataladi. Masalan,
8 lik: 0 1 2 3 . . . 7
2 lik: 000 001 010 011 . . . 111
1.2. O’nlik va ikkilik hisoblash tizimlari
Bu qoidadan foydalanib, 8 lik sanoq sistemasidagi sonni ikkilik sanoq sistemasiga bevosita o’tkazish mumkin. Buning uchun har bir 8 lik raqamni unga mos 2 lik triada bilan almashtirish kerak bo’ladi. Sonning qaysi sanoq sistemasiga tegishli ekanligini ko’rsatish uchun indeksda shu sanoq sistemasining asosini yozib qo’yamiz. Masalan 178 yozuvi 17 sonining 8 lik sanoq sistemasidaligini ko’rsatadi, A1216 yozuvi A12 sonini 16 lik sanoq sistemasiga tegishli ekanligini ko’rsatadi. 6128 sonini 2 likka o’tkazish uchun har bir raqamni mos triada bilan almashtiramiz:
6128=110 001 0102
xuddi shuningdek,
1258=001 010 1012;
-702,18= -111 000 010, 001;
ekanligini ko’rish mumkin.
Bu usuldan 2 likdan 8 likka o’tishda ham foydalanish mumkin. Buning uchun har bir triadani mos 8 lik raqami bilan almashtirish etarli. Masalan, 1001111012 soni uchta triadaga ajraladi: 100, 111,101, bular esa mos ravishda 4, 7, 5 raqamlarini ifodalaydi. Demak, 1001111012=4758. 1012 sonini 8 likka o’tkazish uchun, uning chap tomoniga nollar qo’shish bilan ikkita uchtalikka to’ldiramiz: 10012=0010012. Endi triadalarni mos raqamlar bilan almashtirsak, 118 kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, sonning kasr qismiga o’ng tomondan nollar yozib, uchtalikka to’ldiriliadi.
Masalan, 11011,110012 = 011011,1100102 =33,628
1.2. O’nlik va ikkilik hisoblash tizimlari
1.1-jadvaldan yana shu narsa ma’lum bo’ladiki, 4 lik sanoq sistemasining raqamlarini 2 likda tasvirlash uchun kamida ikkita raqami, xuddi shuningdek, 16 likning 1 ta raqamini 2 likda tasvirlash uchun 2 lik sanoq sistemasining kamida 4 ta raqami kerak bo’lar ekan. Odatda, bu kabi to’rtliklar dasturlashda tetradalar deb yuritiladi. 8 lik sanoq sistemasidan 2 likka va 2 lik sanoq sitemasidan 8 likka o’tish usuliga o’xshash 2 likdan 4 likka va 2 likdan 16 likka o’tish mumkin. Masalan,
10102 = 224; 100102 = 0100102 = 1024;
100100102 = 9216; 11000111,1112 = 11000111,11102 = C7,E16;
Xuddi shu kabi 4 va 16 lik sanoq sistemalaridan 2 likka o’tish uchun raqamlarni mos ikkilik va to’rtliklar bilan almashtirish etarli. Masalan, 1324 = 0111102;
Umuman bu qoidani 2k (k=2,3,4,...) sanoq sistemalari uchun qo’llash mumkin. Masalan, k=5 da 2 likdan 32 lik sanoq sistemasiga va aksincha 32 lik sanoq sistemasidan 2 lik sanoq sistemasiga o’tishda mos 5 talikdan foydalanish kerak bo’ladi.
Xuddi yuqoridagidek, 10 lik sanoq sistemasidagi biror sonning raqamlarini ikkilik tetradalar bilan almashtirsak, bu sonning ikkilik-o’nlik aralash sistemadagi ko’rinishi kelib chiqadi. Masalan, 199210=00011001100100102-10.
A) O’rinli R sanoq sistemasidan X butun son berilgan bo’lsin. Bu sonni asosi Q bo’lgan sanoq sistemasiga o’tkazish talab etilsin. X sonining Q sanoq sistemasidagi ko’rinishi qo’yidagicha bo’lsin:
X=qnqn-1….q1q0
Bu erda 0≤qi≤9.
Agar biz barcha qi larni aniqlasak, u holda X sonini Q sanoq sistemasidagi ko’rinishini topgan bo’lamiz. qi raqamlarini topish jarayoni bir sanoq sistemasidan ikkinchi sanoq sistemasiga o’tish deyiladi. qi larni topish uchun X sonini quyidagicha yozib olamiz:
X=qnQn+qn-1Qn-1+….+q1+Qq0

X ni o’tilayotgan sanoq sistemasining asosiga bo’lamiz:
bu erda q0 soni XQ ning qoldig’idan iborat bo’lib, X sonining eng o’ng raqamini beradi. Bo’linmaning butun qismini X1 bilan belgilaymiz. Endi X1 ni Q ga bo’lsak,
hosil bo’ladi.
Bu sonning qoldig’i 1 q bo’lib, u qidirilayotgan sonning ikkinchi raqamini beradi. Hosil bo’lgan sonning butun qismini X2 deb belgilaymiz. Uni ham Q ga bo’lib, X ning navbatdagi raqamini topamiz. Bu jarayonni ketma-ket davom ettirib, barcha qidirilayotgan raqamlarni aniqlash mumkin.
Shunday qilib, butun sonni bir sanoq sistemasidan boshqasiga o’tkazish uchun berilgan sonni o’tilayotgan sanoq sistemasining asosiga bo’lib borish kerak ekan. Bo’lish jarayoni, bo’lishdan hosil bo’ladigan sonni butun qismi nolga teng bo’lguncha davom ettiriladi.
Yangi sanoq sistemasidagi son bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiqlarni ketma-ket yozishdan hosil bo’lar ekan. Shuni ta’kidlash lozimki, barcha amallar R sanoq sistemasida bajariladi.