1-ma’ruza. Nomanfiy butun sonlar to‘plamining xossalari. Ma’ruza mashg‘ulotining rejasi

3-ta’rif. Bo‘sh to‘plamlar sinfining umumiy xossasiga esa son 0 soni deyiladi, 0= n(∅).
0 soni va barcha natural sonlar birgalikda nomanfiy butun sonlar to‘plamini tashkil qiladi. Bu to‘plam N₀ ko‘rinishida belgilanadi. N₀ = {0}∨N. Bu yerda, N — barcha natural sonlar to‘plami.¹
3. Nomanfiy butun sonlarni taqqoslash. Sonlarni taqqoslash qanday nazariy asosda yuz berishini aniqlaylik. Ikkita nomanfiy butun a va b son berilgan bo‘lsin hamda ular chekli A va B to‘plamlar bilan aniqlansin.
4-ta’rif. Agar a va b sonlar teng quvvatli to‘plamlar bilan aniqlansa, u holda ular teng deyiladi.
a = b ⇔ A ~ B, bu yerda n(A) = a; n(B) = b.
Agar A va B to‘plamlar teng quvvatli bo‘lmasa, u holda ular bilan aniqlanadigan sonlar turlicha bo‘ladi.
5-ta’rif. Agar A to‘plam B to‘plamning o‘z qism to‘plamiga teng quvvatli va n(A) = a; n(B) = b bo‘lsa, a son b sondan kichik deyiladi va a < b kabi yoziladi. Xuddi shu vaziyatda b son a sondan katta deyiladi va b > a kabi yoziladi.
a < b⟺A ~ B, bu yerda B₁⊂B va B₁≠B B≠∅.
4. Nomanfiy butun sonlar yig‘indisi, uning mavjudligi va yagonaligi. To‘plamlar ustida bajariladigan har bir amalga shu to‘plamlar bilan aniqlanadigan sonlar ustidagi amallar mos keladi. Masalan, o‘zaro kesishmaydigan A va B to‘plamlar birlashmasidan iborat C to‘plam Ava B to‘plamlar bilan aniqlanadigan a va b nomanfiy butun sonlarning yig‘indisi deb ataluvchi c sonni aniqlaydi.
6-ta’rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning yig‘indisi deb n(A)=a; n(B)=b bo‘lib, kesishmaydigan A va B to‘plamlar birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi.
a + b = n(A∪B), bu yerda n(A) = a; n(B) = b va A∩ B =∅.
Berilgan ta’rifdan foydalanib, 5 + 2 = 7 bo‘lishini tushuntiramiz. 5 — bu biror A to‘plamning elementlari soni, 2 — biror B to‘plamning elementlari soni, bunda ularning kesishmasi bo‘sh to‘plam bo‘lishi kerak. Masalan, A = {x; y; z; t; p}, B= {a; b}to‘plamlarni olamiz. Ularni birlashtiramiz: A∨B = {x; y; z; t; p; a; b}. Sanash yo‘li bilan n(A∨B) = 7 ekanligini aniqlaymiz. Demak, 5 + 2 = 7.
Umuman, a + b yigindi n(A)=a, n(B)=b shartni qanoatlantiruvchi kesishmaydigan A va B to‘plamlarning tanlanishiga bog‘liq emas. Bu umumiy da’voni biz isbotsiz qabul qilamiz.
Bundan tashqari, butun nomanfiy sonlar yig‘indisi har doim mavjud va yagonadir. Boshqacha aytganda, biz qanday ikkita nomanfiy a va b sonlar olmaylik, ularning yig‘indisi — butun nomanfiy c sonni har doim topish mumkin. U berilgan a va b sonlar uchun yagona bo‘ladi.
Yigindining mavjudligi va yagonaligi ikki to‘plam birlashmasining mavjudligi va yagonaligidan kelib chiqadi.
Yigindi ta’rifidan foydalanib, «kichik» munosabatiga boshqacha ta’rif berish mumkin:
7-ta’rif. ∀a, b∈N uchun a = b + cbo‘ladigan c son topilsa, b < a(yoki a > b) deyiladi.
(∀a, b∈N)(∃c∈N)(b < a⟺a = b + c).
1.6. Qo‘shish amalining xossalari.
1°. Qo‘shish amali kommutativdir:
(∀a, b∈N₀)(a+b=b+a),
ya’ni ixtiyoriy nomanfiy butun a va b sonlar uchun a + b = b + a tenglik o‘rinli.
Isbot. a = n(A), b = n(B) va A∩B = ∅bo‘lsin,
a+b=n(A∪B)=n(B∪A)=b+a
(to‘plamlar birlashmasining kommutativligiga asosan).
2°. Qo‘shish amali assotsiativdir:
(∀a, b, c∈N₀) a + (b + c) = (a + b) + c).
Isbot: a = n(A), b = n(B), c = n(C) va A∩B = ∅, B∩C = ∅, A∩C = ∅bo‘lsin.
a + (b + c) = n(A ∪(B∪C)),
(a + b) + c = n((A∪B)∪C)
to‘plamlar birlashmasining assotsiativligiga ko‘ra
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.
Demak, a + (b + c) = (a + b) + c.
3°. 0 ni yutish qonuni:
(∀a∈N₀) a + 0 = a.
Isbot.
a = n(A), 0 = n(∅), a + 0 = n(A∪∅) = n(A) + n(∅), A∪∅ = A bo‘lgani uchun.
4°. Qo‘shish amali qisqaruvchandir:
(∀a, b, c∈N₀) a + c = b + c.⟺a = b,
Isbot.a = n(A), b = n(B), c = n(Q)bo‘lsin. A = B⇒A∪C = B∪Cbo‘ladi. Qo‘shish amali ta’rifidan N(A)=n(B)⇒n(A∪C) = n(B∪Q, a = b⇒a + c = b + c.
5°. Qo‘shish amali monotondir:
(∀a, b, c∈N₀) a < b ⇒a +c< b +c.
Isbot.a = n(A), b = n(B)bo‘lsin.
a < b ⇒A~ B₁⊂B, bu yerda B₁≠B, B₁≠∅,u holda
A∪C ~ B₁∪C⊂B∪C ⇒a + c < b + c.
«<» munosabati N₀ to‘plamda qat’iy tartib munosabati bo‘lishini isbot qilamiz. Buning uchun «<» munosabatining tranzitiv va asimmetrik ekanligini ko‘rsatamiz.

1. 
   tranzitivligi: a <b∧b <c bo‘lsin, 7-ta’rifga ko‘ra, shunday k va h sonlar topiladiki, b = a + kv ac=b + h bo‘ladi, bundan c = b + h = (a + k) + hv a qo‘shishning assotsiativligiga ko‘ra c = a + (k + h) ekanligini yozish mumkin, bu esa a < c degan xulosani beradi.
   
2. 
   asimmetriklikni teskarisini faraz qilish yo‘li bilan isbotlaymiz. Faraz qilaylik, bir vaqtda a < b va b < ao‘rinli bo‘lsin. Bundan tranzitivlik xossasiga ko‘ra a < a ekanligi kelib chiqadi, demak, farazimiz noto‘g‘ri va bir vaqtda a < b va b < a bo‘lishi mumkin emas, degan xulosaga kelamiz.
   

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Nazariyani aksiomatik qurish to‘g‘risida ma’lumot bering.
   
2. 
   Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi tarixi haqida ma’lumot.
   
3. 
   Nomanfiy butun sonlar to‘plamini to‘plamlar nazariyasi asosida qurish.
   
4. 
   Nomanfiy butun sonlarni taqqoslash.
   

1