3. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli. Qauss üsulu. Çox saman (1) və eləcə də (5) sistemini məchulları ardıcıl yoxetmə (və ya Qauss) üsulu ilə həll edirlər: olmaqla ( olduqda isə sistemdəki tənliklərin yerləri elə dəyişdirilir ki, birinci yerdə duran tənkikdə məchulunun əmsalı sıfırdan fərqli olur) (1) sisteminin birinci tənliyinin hər iki tərəfini əvvəlcə ədədinə vurub onun ikinci tənliyindən, sonra ədədinə vurub üçüncü tənliyindən və s. ədədinə vurub -ci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxmaqla (1) sisteminin birincidən sonrakı bütün tənliklərindən məchulu yox edilir. Alınmış yeni sistemin ikincidən sonrakı tənliklərindən də, yuxarıdakı qayda ilə məchulu yox edilir. Prosesi bu qayda ilə davam etdirməklə (1) sistemi ona ekvivalent olan pilləvari sistemə gətirilir. Buradan isə məchulları tapmaq çox da çətin deyil.
Ola bilər ki, müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa bir tənliyi
şəklində olsun, onda (1) sistemi uyuşan deyil. Əgər
şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənlik atılır.
(1) sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən düzəldilmiş və
genişlənmiş matris adlanan
matrisini düzəldək.
Teorem (Kronekker-Kapelli). (1) sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olması ( ) zəruri və kafidir. Beləki:
1) olduqda (1) sistemi uyuşmayandır,
2) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda, sistemin ranqı
sistemdəki məchulların sayını aşmır, yəni və ola bilər:
a) ( -məchulların sayıdır) olduqda, sistemin həlli yeganədir
və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır,
b) olduqda isə sistemin həlli sonsuz sayda-
dır və o belə bir sxem üzrə hesablanır: olduqda, sistemin həllini tapmaq üçün onun əsas matrisinin tərtibli hər hansı bir bazis minoruna uyğun sayda tənliyindən yeni sistem qurulur. Həmin sistemdən, əmsalları bazis minorun elementləri olan, sayda məchullar (bazis dəyişənləri) qalan sayda məchullardan (sərbəst dəyişənlərdən) asılı şəkildə tapılır