1-Mavzu. Natural sonlar va ular ustida amallar. Tub va murakkab sonlar. Sonlarning bo‘linish alomatlari. Natural sonlar va ular ustida amallar

Tub va murakkab sonlar. Birga va faqat o‘ziga bo‘linadigan sonlar tub sonlar deyiladi. Masalan: 2, 3, 5, 7, 11, …
Ikkitadan ortiq bo‘luvchiga ega bo‘lgan sonlar murakkab sonlar deyiladi.
Masalan: 4, 6, 8, 9, 10, 12, …. .
1 soni tub ham murakkab ham emas.
Demak natural sonlar to‘plami 3 guruhga bo‘linar ekan: Tub sonlar to‘plami, murakkab sonlar to‘plami, bitta 1 elementdan iborat to‘plam.
Teorema: 1 dan katta ixtiyoriy natural sonni tub sonlar ko‘paytmasi shaklida yagona usulda yozish mumkin. Bu teorema arifmetikaning asosiy teoremasi deyiladi.
I s b o t: a₁– murakkab son, q₁ esa uning eng kichik tub bo‘luvchisi bo‘lsin. a₁ ni q₁ ga bo‘lamiz: a₁ = q₁ . a₂ (a₂< a₁).
Agar a₂ tub son bo‘lsa, a₁ son tub ko‘paytuvchilarga yoyilgan bo‘ladi. Aks holda, a₂ ni o‘zining eng kichik tub bo‘luvchisi q₂ ga bo‘lamiz: a₂=q₂.a₃ (a₃ < a₂).
Agar a₃ tub son bo‘lsa, a₁ = q₁ . q₂ . a₃ bo‘ladi. q₁, q₂, a₃ sonlari tub sonlar bo‘lgani uchun, a₁ soni tub ko‘paytuvchilarga yoyilgan bo‘ladi. Agar a₃ murakkab son bo‘lsa, yuqoridagi jarayon davom ettiriladi.
a₁ > a₂ > a₃ > . . . ekanligidan ko‘rinadiki, bir necha qadamdan so‘ng albatta a_n tub soni hosil bo‘ladi va a₁ soni a₁ = q₁ . q₂ . ... . a_n shaklni oladi. Demak, har qanday natural son tub ko‘paytuvchilarga yoyiladi.
a soni ikki xil ko‘rinishdagi tub ko‘paytuvchilar yoyilmasiga ega bo‘ladi, deb faraz qilaylik: a = p₁ . p₂ . ... . p_k, a = q₁ . q₂ . ... . q_n. U holda q₁ . q₂ . ... . q_n = p₁ . p₂ . ... . p_k. tenglikning ikki tomonida hech bo‘lmaganda bittadan tub son topiladiki, u sonlar bir-biriga teng bo‘ladi. p₁ = q₁ deb faraz qilaylik. Tenglikning ikkala tomonini p₁ = q₁ ga qisqartirsak q₂ . ... . q_n = p₂ . ... . p_k bo‘ladi. Bu tenglik ustida ham yuqoridagidak mulohaza yuritsak,
q₃ . ... . q_n = p₃ . ... . p_k bo‘ladi va hokazo. Bu jarayonni davom ettirsak, n - 1 qadamdan so‘ng 1 = p_{n +1} . ... . p_k tenglikni olamiz. Bundan p_{n +1} = 1, ..., p_k = 1 ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoyilma yagona ekan.
Natural sonning tub bo‘luvchilari orasida bir xillari uchrasa ular ko‘paytmasini daraja shaklida ifodalash qulay bo‘ladi, ya’ni (1). Bu yerda p₁,p₂,…,p_n-turli tub sonlar, k₁,k₂,…,k_n-natural sonlar. Bu yoyilma kanonik shakl yoki natural sonni tub ko‘paytuvchilarga yoyish formulasi deyiladi.