1-Mavzu: “Statistika” faniga kirish

11.3 Dinamika o’rtacha ko’rsatkichlarini hisoblash yo’llari.
O’rtacha dinamika ko’rsatkichlari nafaqat qisqa va uzoqroq davrlarga xos umumiy yoki lokal tendentsiyalarni belgilash uchun zarur, balki shu bilan birga trendlarning analitik shakllarini aniqlash va vaqt kengligi turlicha bo’lgan davrlar ichidagi sur’atlarini qiyosiy o’rganish uchun tengi yo’q vosita hisoblanadi. Bunday ko’rsatkichlar safi dinamika qatorining o’rtacha darajasi, o’rtacha mutlaq o’sish (yoki kamayish) va tezlashish qiymati, o’rtacha o’sish va qo’shimcha o’sish sur’atlari, o’rtacha tezlanish sur’atlari va boshqa o’rtacha me’yorlarni o’z ichiga oladi.
Dinamika qatorining xarakterini e’tiborga olib uning o’rtacha darajasi hisoblanadi. Davriy qatorlarda u ayrim darajalardan o’rtacha arifmetik miqdor olish yo’li bilan aniqlanadi.

Momentli dinamika qatorlarida o’rtacha daraja xronologik o’rtacha ko’rinishida hisoblanadi.
Momentli dinamika qatorlarida o’rtacha daraja maxsus yo’l bilan aniqlanadi. Buning uchun boshlang’ich va eng so’nggi qator darajalari yarim miqdorda qolganlari esa to’la holda olinib qo’shiladi, so’ngra hosil bo’lgan yig’indi darajalar sonida bitta kamiga bo’linadi, ya’ni:


(11.5)

Bu formula momentli qatorning xronologik o’tachasi deb ataladi.

O’rtacha mutlaq qo’-shimcha o’sish zanjir-simon mutlaq o’sish-lardan oddiy arif-metik o’rtacha hisob-lash yo’li bilan aniqlanadi.
O’rtacha mutlaq qo’shimcha o’sish zanjirsimon mutlaq o’sishlardan oddiy arifmetik o’rtacha aniqlash natijasida hosil bo’ladi:
O’rtacha mutlaq qo’shimcha o’sishni (9.6) formula yordamida hisoblayotganda shuni hisobga olish kerakki, bu formuladan darajalar kuchli tebranishga ega bo’lmagan taqdirda foydalanish mumkin. Agar ularda kuchli tebranish kuzatilsa, dastlab tebranishlardan umumiy tendentsiya (trend)ni ajratib olish kerak (hisoblash tartibi 9.4 bo’limda bayon etiladi.)

O’rtacha mutlaq tezlanish darajalari analitik yo’l bilan tekislangan qatorlar uchun hisoblanadi.
O’rtacha mutlaq tezlanish, o’rtacha mutlaq o’sishga o’xshab, ayrim davrlardagi mutlaq tezlanish miqdorlari yig’indisini davrlar soniga bo’lish yo’li bilan aniqlanadi.
Dinamika qatorlarining tendentsiyalarini aniqlash va ularni qiyosiy tahlil qilishda dinamika o’rtacha sur’atlarini hisoblash juda muhim ahamiyat kasb etadi. Bu ko’rsatkichni topishning eng aniq usuli dinamika qatorlarini eksponentlar (ko’rsatkichli funktsiya ) bo’yicha tekislash natijalariga asoslanadi.
qator darajalari bir marom va yo’nalishda o’zgarsa, o’rtacha dinamika sur’ati zanjirsimon o’sish sur’atlaridan geometrik o’rtacha hisoblash yo’li bilan aniqlanadi:
(9.7)
Bu yerda: K_i - zanjirsimon o’sish suratlari;
n - ularning soni.
Ma’lumki, zanjirsimon o’sish sur’atlari ko’paytmasi zaminiy (bazisli) o’sish sur’atiga, ya’ni qatorning oxirgi darajasini boshlang’ich darajasi nisbatiga teng.
Ammo ayrim hollarda o’rtacha o’sish sur’atini aniqlash sharti (mezoni) qilib boshqa funktsionalni olish masalasi tug’iladi. Jumladan mavjud sharoit bunday mezon sifatida biror darajaga U_k nisbatan qator darajalari yig’indisini U_i qarash zarurligini taqozo etishi mumkin. Bu holda ayrim davrlar uchun o’sha darajaga nisbatan hisoblangan o’sish sur’atlarini o’rtacha o’sish sur’ati bilan almashtirish natijasida o’rtacha shaklini belgilovchi funktsional konstanta, ya’ni o’zgarmas miqdor bo’lishi kerak: sharoitda funktsional – konstanta
Bu yerda: U_k - taqqoslash asosi qilib olingan daraja.
Masalan, besh yil davomida yaratilgan yalpi mahsulot bazis darajaga (o’tgan besh yillik uchun o’rtacha yillik ishlab chiqarish hajmiga) nisbatan 800% yoki bshqacha so’z bilan aytganda, o’rtacha yillik daraja bazis darajaga nisbatan 160% (800%:5) tashkil etishi uchun mahsulot ishlab chiqarishning o’rtacha yillik sur’ati qanday bo’lishi kerak? Ushbu shartni qanoatlantiradigan o’rtacha o’sish sur’ati m tartibli parabola tenglamasi orqali aniqlanadi. SHuning uchun uni parabologik o’rtacha o’sish surati deb yuritiladi. Maxsus statistikaga oid adabiyotda parabologik o’rtacha o’sish suratini aniqlash uchun quyidagi taqribiy formula taklif etilgan:
(9.9)
Bu yerda: m - qo’shiladigan darajalar soni;
U_k - bazis (zaminiy) daraja.
Misolimizda, mq5 U_i /U_k q 800 % yoki 8.



Darajasi bo’yicha qatorlarning tenglashish muddatini o’rtacha o’sish sur’atlari asosida aniqlash mumkin.
Bu holda tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikni logarifmlasak, quyidagi ifoda hosil bo’ladi:

Bundan:
(9.10)
Amalda (11.10) formuladan foydalanayotganda surati va maxrajidagi logarifmlarning katta qiymatidan kichigi ayiriladi. Masalan, birinchi qatorda , ikkinchi qatorda desak, u holda

Demak, darajasi bo’yicha qatorlar 9.4 yildan so’ng tenglashadi va bu daraja 1598,44 teng bo’ladi.