1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

3. 
   2.5.2 - Tasdiqqa teskari bo'lgan tasdiq, ya'ni har qanday Koshi ketma-ketligining yaqinlashuvchi ekanligi haqiqiy sonlar nazariyasidagi eng ajoyib natijadir.
   

2.5.1 - Teorema (Koshi kriteriysi). Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lishi
uchun uning Koshi ketma-ketligi bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1) Zarurligi 2.5.2 - Tasdiqda isbotlandi.




{ }

{ }

{ } { }
2) Yetarliligi. Har qanday Koshi ketma-ketligi x_n yaqinlashuvchi bo'lishini isbotlaymiz. Ta'rifga ko'ra, istalgan ε > 0 olinganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki, u uchun (2.5.1) shart bajariladi. 2.5.1 - Tasdiqqa asosan esa, x_n ketma- ketlik chegaralangan, va shuning uchun, 2.4.1 - Teoremaga ko'ra, u yuqori a va quyi a limitlarga ega. Ikkita x_nk va x_mk qismiy ketma-ketliklarni shunday tanlab olamizki,

munosabatlar o'rinli bo'lsin.

x_nk → a, x_mk → a (2.5.5)

Endi (2.5.1) da n = n_k va m = m_k deb olib, k ni cheksizlikka intiltirsak, (2.5.5) ga ko'ra,

tengsizlik kelib chiqadi.

|a − a| ≤ ε

Bundan, ε > 0 ning ixtiyoriyligiga ko'ra, a = a tenglikni olamiz. Demak, 2.4.3 - Teoremaga asosan, {x_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi ekan.