1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

2

1
₃ , ... ,
1
, ... nuqtalardan iborat to'plam (bu to'plam faqat bitta

n

a = 0 limit nuqtaga ega va biz uni to'plam elementlariga qo'shib qo'ydik; uning
boshqa barcha nuqtalari yakkalangan);
3) [a, b] kesma.

∞
Lekin (a, b) interval kompakt emas, chunki u, chegaralangan bo'lishiga qaramasdan, yopiq to'plam emas. Yarim to'g'ri chiziq [0, + ) ham kompakt emas, chunki u, yopiq bo'lishiga qaramasdan, chegaralangan to'plam emas.
Zamonaviy matematik tahlilda kompakt to'plamlar xossalaridan juda keng foydalaniladi.

2.8. Misollar

1. 
   - Misol. Agar x_n > 0 ketma-ketlik uchun biror n nomerdan boshlab
   

^xn+1

n
_x ≤ q < 1
tengsizlik o'rinli bo'lsa, lim x_n = 0 ekanini isbotlang.

Ko'rsatma. Ushbu
n→_<∞_x
< c qⁿ tengsizlikdan foydalaning.

0 _n

2. 
   
   _n
   - Misol. Tenglikni isbotlang:
   

1 ⁿ

lim
= 0, (a > 0).

^n→∞ n! e + a

Ko'rsatma. Quyidagi tengsizlikdan foydalaning:

1 n ⁿ
_{e n}

<

.
n! e + a e + a

3. 
   - Misol. Tenglikni isbotlang:
   

a >
lim ^an = 0 (
^n→∞ n!
Ko'rsatma. Agar x_n = aⁿ/n! desak,
0).

^xn+1 ₌ ^a
< q < 1

tengsizlikdan foydalaing.

x_n n + 1

4. 
   - Misol. Agar a > 1 bo'lsa, istalgan r soni uchun
   

lim ⁿr = 0
^n→∞ aⁿ
(2.8.1)

ekanini ko'rsating.

Ko'rsatma. Agar x_n = n^r/aⁿ desak, biror n nomerdan boshlab

^xn+1 x_n

= ¹ 1 + ¹

r
a n

< q < 1

tengsizlik bajarilishini ko'rsating.

5. 
   - Misol. Tenglikni isbotlang:
   

lim

n→∞
^√n n = 1. (2.8.2)

Ko'rsatma. Ushbu (2.8.2) tenglikni ko'rsatish uchun
lim ^{ln n} = 0 (2.8.3)
^n→∞ n

≤ ≤ { }

≤ ≤
munosabatni isbotlash yetarli. Agar m_n butun sonlar m_n ln n m_n + 1 shartni qanoatlantirsa, e^mn n e^mn+1 bo'ladi. Endi m_n ketma-ketlikni chksiz katta ekanini ko'rsating. Shuni hisobga olib, (2.8.3) ni isbotlash uchun (2.8.1) dan foydalaning.

6. 
   
   
   
   ^a1 ^{+ a}k+1 ^k
   - Misol. Istalgan musbat sonlar ketma-ketligi {a_k}^∞_k=1 uchun
   

tengsizlikni isbotlang.
lim
^k→∞ a_k
≥ e (2.8.4)

Ko'rsatma. Agar (2.8.4) tengsizlikning teskarisini bajariladi deb faraz qilsak, ya'ni
^a1 ^{+ a}k+1 ^k

< 1

lim

k→∞



desak, biror N nomerdan boshlab
a_k

k
k + 1 ^k

^a1 ^{+ a}k+1 ^k

a_k

k + 1 ^k





< 1, k ≥ N,

bo'ladi. Bundan chiqdi, shu nomerdan boshlab,

tengsizlik bajariladi, ya'ni
^a1 ^{+ a}k+1

a_k

k + 1

<

k

a₁
k + 1

_< a_k k

^ak+1
^— k + 1

bo'ladi. Bu tengsizlik yordamida garmonik qator yaqinlashadi degan ziddiyatga keling.

Eslatma. Agar istalgan ε > 0 uchun

a₁ = ε, a_k = k, k = 2, 3, ...


ketma-ketlikni aniqlasak, ravshanki,

lim

k→∞
^a1 ^{+ a}k+1 ^k
a_k

= lim

k→∞

1 +

1 + ε ^k

k

_{= e}1+ε

bo'ladi. Bundan (2.8.4) tengsizlikning aniq ekanligi kelib chiqadi.

7. 
   - Misol. Agar
   

bo'lsa, ushbu


x_n =

1 +

1 _sin2 πn


n
n 4

inf{x_n}, sup{x_n}, lim x_n, lim x_n

kattaliklarni toping.
n→∞
n→∞

Ko'rsatma. Quyidagi limitlardan foydalaning:
lim x_4k = 0, lim x_4k+2 = e.
k→∞ k→∞

8. 
   - Misol. Koshi kriteriysidan foydalanib,
   

1 1 1

x_n = 1 + _3a + _5a + · · · + _{(2n − 1)a} , a < 1
ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.
Ko'rsatma. Biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik bajarilishini ko'rsating:
x_2n − x_n > 1.

8. 
   - Misol. Koshi kriteriysidan foydalanib,
   

1 1 1

x_n = 1 + _3a + _5a + · · · + _{(2n − 1)a} , a ≥ 2
ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.
Ko'rsatma. Quyidagi munosabatdan foydalaning:

1 1 1 1

(2n + 1)^{a <} (2n + 1)2n ⁼ 2n ⁻ 2n + 1 ^.

8. 
   - Misol. Agar a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ · · · ≥ a_n ≥ · · · va a_j ≥ 0 bo'lsa,
   

x_n = a₁ + a₂ + · · · + a_n
ketma-ketlik, faqat va faqat
y_n = a₁ + 2a₂ + · · · + 2ⁿa₂ⁿ (2.8.5) ketma-ketlik yaqinlashganda, yaqinlashishini ko'rsating.
Ko'rsatma. Quyidagi

tengsizlikni isbotlang.
1
₂ y_n < x₂ⁿ < y_n

11. 
    - Misol. 10 - Misoldan foydalanib,
    

1 1

x_n = 1 + _2p + · · · + _np , p > 1
ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.
Ko'rsatma. Bu holda (2.8.5) ketma-ketlik maxraji birdan kichik bo'lgan geometrik progressiyaning qismiy yig'indisi bo'lishini ko'rsating.

11. 
    - Misol. 10 - Misoldan foydalanib,
    

1 1 1

^{xn =} 2 ln 2 ⁺ 3 ln 3 ^{+ · · ·} n ln n
ketma-ketlikning uzoqlashishini ko'rsating.
Ko'rsatma. Bu holda (2.8.5) ketma-ketlik uchun

y ¹ · · · + ^{1 1}

tenglikdan foydalaning.
_n = 1 + ₂ +
n ln 2

11. 
    - Misol. 10 - Misoldan foydalanib,
    

1 1 1

^{xn =} 2(ln 2)^{p +} 3(ln 3)^{p + · · · +} n(ln n)^{p , p > 1}
ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.

_np
Ko'rsatma. Bu holda (2.8.5) ketma-ketlik

n

(ln 2)^p

₂p
_{y =} 1 _{1 +} 1

+ · · · + ¹

ko'rinishga ega ekanidan foydalaning.