13-ma’ruza aniq integralning tatbiqlari Reja Tekis shaklning yuzini hisoblash

Eslatma. Biz funksiya segmentda deb qaradik. Agar funksiya da ishora saqlamasa, (1) integral egri chiziqli trapesiyalar yuzalarining yig’indisidan iborat bo’ladi. Bunda o’qining yuqorisidagi yuza musbat


ishora bilan, o’qining pastdagi yuza manfiy ishora bilan olinadi.
Masalan, o’qi va ning oraliqdagi qismi bilan chegaralangan shaklning yuzi

bo’ladi.

Qutb koordinatalar sistemasida ushbu Funksiya bilan aniqlangan yoyi hamda va radius vektorlar bilan chegaralangan shaklni qaraylik. (5-chizma)

5-chizma

Agar funksiya da uzluksiz bo’lsa, shaklning yuzi
(*)
bo’ladi.
Yoy uzunligini hisoblash([1]. 8.2 definite Integrals, Application: Length of a Curve,114-bet)
funksiya segmentda uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiyaning dagi grafigi yoyni (egri chiziqni) tasvirlasin. (5-chizma)

5-chizma

segmentda nuqtalarni olib, bu nuqtalar orqali o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz.

Ularning yoyi bilan kesishgan nuqtalarini
deymiz. So’ng bu nuqtalarni o’zaro to’g’ri chiziq kesmalari yordamida birin-ketin birlashtiramiz. Natijada yoyiga chizilgan siniq chiziq hosil bo’ladi. Bu siniq chiziq perimetrini deylik.
Ravshanki siniq chiziqni nuqtalarni birlashtiruvchi bo’lagining uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra)

bo’lib, siniq chiziq perimetri

bo’ladi.
Endi segmentning bo’laklash sonini orttira borilsa, ya’ni cheksizga intila borsa, unda siniq chiziq yoyiga yaqinlasha boradi, uning perimetri esa yoyining uzunligi ni borgan sari aniqroq ifodalay boradi.
Bundan, tabiiy ravishda yoyining uzunligi deb

qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Yuqorida aytilishiga ko’ra funksiya segmentda uzluksiz hosilaga ega. Binobarin, u har bir da ham shu xususiyatga ega bo’ladi. Har bir da ga Lagranj teoremasini qo’llab topamiz:

bunda va
Natijada

bo’ladi.
funksiya segmentda uzluksiz bo’lgani uchun u shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi. Unda interal yig’indi ixtiyoriy da jumladan da ham chekli limitga ya’ni aniq integralga intiladi. Demak,
.
Shunday qilib, yoyining (egri chiziqning) uzunligi
(3)
bo’ladi.
Aytaylik, egri chiziq ushbu

tenglamalar sistemasi bilan ( parametrik ko’rinishda) berilgan bo’lsin, bunda va funksiyalar da uzluksiz hamda hosilalarga ega. Bu egri chiziqning uzunligi
4) ((4)
bo’ladi.
Aytaylik, egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida quyidagi

tenglama bilan berilgan bo’lsin, bunda uzluksiz hosilaga ega. Bu egri chiziqning uzunligi
(5)
bo’ladi.