13-ma’ruza aniq integralning tatbiqlari Reja Tekis shaklning yuzini hisoblash

Statik momentlar va og’irlik markazlarini hisoblash([1],17.2 EXPECTATION VALUES AND MOMENTS)
Tekislikda massaga ega bo’lgan nuqtani qaraylik. Bu nuqtaning koordinatalari va bo’lsin: .
Ushbu

miqdorlar mos ravishda va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.
Aytaylik, tekislikda har biri mos ravishda

massaga ega bo’lgan

nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin.
Ushbu

miqdorlar nuqtalar sistemasining mos ravishda va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.
Agar tekislikdagi nuqta uchun nuqtalar sistemasining barcha massalari shu nuqtada bo’lib, bu nuqtaning va o’qlariga nisbatan statik momentlari sistemaning shu o’qlarga nisbatan statik momentlariga teng, ya’ni


bo’lsa, nuqta sistemaning og’irlik markazi deyiladi.
Keyingi tengliklardan sistema og’irlik markazining koordinatalari uchun

bo’lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, egri chiziq ( yoyi)

tenglama bilan aniqlangan bo’lsin, bunda funksiya da uzluksiz hosilaga ega. Bu egri chiziq bo’yicha zichligi o’zgarmas va u 1 ga teng bo’lgan massa tarqatilgan. Ravshanki, bu holda massa (u yoy uzunligi bilan zichlik ko’paytmasiga teng bo’lganligi sababli) yoy uzunligiga teng bo’ladi.
(3 ) formuladan foydalanib topamiz:
(7)
Massali egri chiziqning va koordinata o’qlariga nisbatan statik momentlarini hamda uning og’irlik markazining koordinatalarini topish uchun segmentini

nuqtalar yordamida bo’lakka bo’lamiz. Unda yoyidagi

nuqtalar yoyini ta bo’lakka ajratadi. Bunda yoy bo’lagining massasi ( 7 ) formulaga ko’ra

bo’ladi.
Aniq integralning xossasi (o’rta qiymat haqidagi teorema)dan foydalanib topamiz:

bunda .
Yuqorida aytilganlarga ko’ra nuqtaning va o’qlarga nisbatan statik momentlari




bo’lib, nuqtalar sistemasining va o’qlariga nisbatan statik momentlari

bo’ladi.
Endi segmentning bo’laklash sonini orttira borilsa, ya’ni cheksizga intila borsa, unda yoyi nuqtaga aylana boradi, yuqoridagi yig’indilar esa massaga ega bo’lgan egri chiziqning va o’qlarga nisbatan statik momenti ifodalay boradi. Binobarin, (7) massali egri chiziqning va o’qlarga nisbatan statik momentlari

bo’ladi.
Ayni paytda

bo’lganligidan

bo’lishini topamiz.
Shuningdek, (7) massali egri chiziq og’irlik markazi nuqta koordinatalari uchun

bo’ladi.

“ Matematik analiz” kafedrasi