14- ma’ruza: tasodifiy miqdor tushunchasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. Uzluksiz tasodifiy miqdor. Zichlik funksiyasi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Reja

TASODIFIY MIQDORLARNING SONLI XARAKTERISTIKALARI.

Tasodifiy miqdor tushunchasi ehtimollar nazirayasi va uning tadbiqlarida asosiy tushunchalarda biri hisoblanadi. Masalan, o’yin soqqasini bir marta tashlashda ochkolar soni, berilgan vaqt ichida radiyning yemirilgan atomlari soni, ma'lum vaqt oralig’ida telefon stantsiyasidagi chiqarislar soni, to’g’ri sozlangan texnologik jarayonda detalning birorta o’lchamining nominaldan chetlanishi va x.k lar tasodifiy miqdorlardir.

Shunday qilib, sinov natijasida u yoki bu son oldindan (noma'lum) qiymatni qabul qila oladigan o’zgaruvchi miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Kelgusida bunday tasodifiy miqdorlarning ikki turi diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarni ko’ramiz.
Diskret tasodifiy miqdorlar. Qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari chekli yoki cheksiz х₁,х₂,х₃,...,х_n,... sonli ketma-ketlikni tashkil etuvchi tasodifiy miqdorni qaraymiz.
Qiymati har bir х=х_i(i=1,2,...) nuqtada miqdor x+x_i qiymatni qabul qilish ehtimoliga teng bo’lgan P(x) funksiya berilgan bo’lsin:
р(х_i)=Р(=х_i). (15)
Bunday tasodifiy miqdor diskret (uzlukni) tasodifiy miqdor deyiladi. p(x) funksiya tasodifiy miqdor ehtimollarning taqsimot qonuni yoki qisqacha, tqssimot qonuni deyiladi. Bu funktsiya,. х₁,х₂,х₃,...,х_n,.. ketma-ketlikning nuqtalarida aniqlang. Sinovlarning har birida tasodifiy miqdor har doim uning o’zgarish sohasidagi birorta qiymatini qabul qilgani uchun
р(х₁)+р(х₂)+...+р(х_n- )+...- =1.
1 misol. _tasodifiy miqdor o’yin soqqasini bir marta tashlashda tushgan ochkolar sonining mumkin bo’lgan qiymatlari 1,2,3,4,5 va 6 sonlari. Bunda x ning bu qiymatlardan birini qabul qilish ehtimoli bir xil bo’lib, 1/6 ga teng.
Shunday qilib, bu erda ehtimollarning taqsimot qonuni x ning [1,2,3,4,5,6] to’plamdagi qiymatlarining istalgan birining p(x)+1/6 funksiyasidir.
2 misol. tasodifiy misdor A hodisaning bitta sinovdan ro’y berishlar soni, shu bilan birga P(A)+p bo’lsin. Tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ikkita son 0 va 1 dan iborat: =0 agar A hodisa ro’y bermasin, =1 agar A hodisa ro’y bersa. Shunday qilib,
р(0)=Р(=0)=Р(А)=1‑р=+, р(1)=Р(=1)=Р(А)=р.
n ta erkli sinov o’tkazilaetgan bo’lsin va bu sinovlarning har birida A hodisa ro’y berishi va ro’y bermasligi mumkin deb faraz qilaylik.A hodisaning har bir sinovda ro’y berish ehtimoli p ga teng bo’lsin. A hodisaning n ta erkli sinovda ro’y berishlar sonidan iborat tasodifiy miqdorni qaraymiz. o’ ning o’zgarish sohali 0 dan n gacha bo’lgan (0 ham kiradi) barcha butun sonlardan iborat. Ehtimollarning taqsimot qonuni p(m) (13') Bernulli formulasi bilan aniqlanadi.
2. Tasodifiy miqdor ehtimollarni taqsimot funksiyasi va uning xossalari. Butun son o’qida quyidagicha aniqlangan F(x) funktsiyani saraymiz: har bir x uchun F(x) ning qiymati diskret tasodifiy miqdorning x dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoliga teng, ya'ni
F(х)=Р(<х). (16)
Bu funksiya ehtimollar taqsimoti funksiyasi yoki qisqacha, taqsimot funksiya deyiladi.
1 misol. 1 punktdagi 1 misolga keltirilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Yechilishi. Ravshanki, agar x<+1 bo’lsa , u holda F(x)+0, chunki x birdan
kichik qiymatlari qabul silmaydi. Agar 1u holda F(х)=Р(<х)=Р(<3).
Biroq <3 hodisa mazkur holda ikkita birgalikda bo’lmagan
=1 ва =2 hodisalarning yig’indisidan iborat. Demak,

Р(<3)=Р(=1)+Р(=2)=1/6+1/6=1/3

Shunday qilib, 26 bo’lsa, F(x)+1 chunki bu holda o’ ning istalgan mumkin bo’lgan qiymatlari (1,2,3,4,5,6) x dan kichik.