Bir o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami

Bir o’zgaruvchili funksiya to’la tekshirish

Bir o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami.
n o’lchovli haqiqiy fazoda nuqtalar to’plami berilgan bo’lsin.
V to’plamga tegishli har bir nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo’yuvchi f qonunga x₁, x₂, …, x_n o’zgaruvchilarning V nuqtalar to’plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o’z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x₁; x₂; …; x_n) ko’rinishda yoziladi. f (M) haqiqiy son y funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi.
Xususan, agar V є R₁ bo’lib, V to’plam R₁={x} haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plamidan iborat bo’lsa, V to’plamda bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi.
Misollar: 1) to’plamda berilgan bir x o’zgaruvchili funksiya. Xususan, єf (e) = lne = 1.
2) to’plamda berilgan ikki va o’zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada .
3) to’plamda berilgan uch x₁, x₂ va x₃ o’zgaruvchili funksiya. nuqtada

funksiya berilgan  fazoga tegishli to’plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va yoki yozuv bilan ifodalanadi.

funksiya o’z aniqlanish sohasi ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlari to’plamiga esa uning qiymatlari to’plami yoki o’zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to’plami R₁ haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plami bo’lib, yoki belgilar bilan yoziladi.

Bir o’zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Teskari funksiya.
V  R₁ nuqtalar to’plamida aniqlangan bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo’lgan barcha (x; f (x)), x є V juftliklarning X0Y to’g’ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.
R₁ fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to’plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo’lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya V to’plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0Y ordinata o’qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o’rinli bo’lsa, y = f (x) V to’plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x²ⁿ (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo’lsa, toq natural darajali y = x^2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo’lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo’yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo’ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri .
y = f (x) funksiya V  R₁ to’plamda aniqlangan bo’lib, uning biror-bir V₁ qism osti to’plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁ < x₂ munosabatdan f (x₁)< f (x₂) (f (x₁)≤ f (x₂)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V₁ to’plamda o’suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.
Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V₁ to’plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁< x₂ shartdan f (x₁)>f (x₂) (f (x₁) ≥ f (x₂) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V₁ to’plamda kamayuvchi (o’suvchi emas) deyiladi.
O’suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat’iy monoton funksiyalar deyiladi.
Masalan, y = e^x aniqlanish sohasi R₁ da qat’iy monoton o’suvchi funksiyaga misol bo’lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo’la oladi.
y = f (x) funksiya D(y)  R₁ sohada aniqlangan bo’lib, E(y) uning qiymatlar to’plami bo’lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x₁, x₂ є D(y) lar qaralmasin, x₁ ≠ x₂ shart qanoatlantirilganda, f (x₁) ≠ f (x₂) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo’yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to’plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.

Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to’plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo’lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o’taydi.

Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o’zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.

Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat’iy monoton o’suvchi va uzluksiz bo’lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat’iy o’suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega.

O’zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o’qi y = x to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.