14-mavzu. Chekli o‘lchovli vektor fazo va asosiy tushunchalar. Qism fazolar

4.4-teorema. Ekvivalent vektorlar sitemalarining ranglari tengdir.
U – V ning qandaydir qism to‘plami bo‘lsin. Agar lar uchun
bo‘lsa, u holda U to‘plamni vektorlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiq deyiladi.
4.8- ta’rif. Aytaylik V- F maydon ustidagi vektor fazo, U V bo‘lsin. Agar U vektorlarni qo‘shishi va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiq bo‘lsa, U ni V ning qism fazosi deyiladi.
to‘plam vektorlarini qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan yopiq bo‘lganligi uchun, u V fazoning qism fazosibo‘ladi. Uni vektorlarga tortilgan yoki vektorlar hosil qilgan qism fazosi deyiladi.
Aytaylik lar V fazoning qism fazolari bo‘lsin, u holda

V ning qism fazosini qism fazolarning yig‘indisi deyiladi.
4.9- ta’rif. Agar faqat birgina usul bilan ko‘rinishda ifodalangan bo‘lsa, u holda ni qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi deyiladi va uni ko‘rinishda belgilanadi, bu joyda .
Aytaylik U – V vektor fazoning qism fazosi bo‘lsin. V fazoda binar munosabatni quyidagicha kiritamiz.
lar uchun .
Bu binar munosabat V fazosida ekvivalentlik munosabat bo‘ladi, bu ekvivalentlik munosabatga nisbatan ixtiyoriy ekvivalentlik sinfini V fazoning U yo‘nalishdagi chiziqli ko‘philligi deyiladi.
MISOLLAR: 3. , uch o‘lchovli vektorlar sistemasining chiziqli bog‘lanmagan (erkli ) ekaligi ko‘rsatilsin.
lar uchun yoki [< > + < > + < >]=<0,0,0> bo‘lsin. Bundan < >=<0,0,0> bu quyidagi bir jinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli.

Oxirgi tenglamalar sistemasini echib, ga ega bo‘lamiz. Demak, berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan ekan.

4. , vektorlar sistemasidagi chiziqli bog‘lanish tekshirilsin.
lar uchun yoki [< > + < > + < >]=<0,0,0> bo‘lsin. Bundan < >=<0,0,0> bu quyidagi bir jinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli.

Bu sistema cheksiz ko‘p nol echilmalarga ega. Masalan bu holda bog‘lanish o‘ringa ega. Demak, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘langan sistemani tashkil qiladi.
5.
haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazoni tashkil etadi (2-misolga qarang). desak, . U holda lar uchun buni e’tiborga olsak ekanligi kelib chiqadi.
6. va
Vektorlar sistemalari ekvivalentdir.
, ,
Aksincha , yoki < >=<0,0,1> ⇔ bundan .
SHu kabi larni ham sistemaning vektorlari orqali chiziqli ifodalash mumkin. Demak, berilgan vektorlar sistemalari ekvivalent.
7. vektorlar sistemasini bazisi va rangini toping.
vektorni (-2) ga ko‘paytirib, vektorga , (-3) ga ko‘paytirib vektorga qo‘shamiz:

Oxirgidan ko‘rinadiki, bundan
= +
Ekanligi kelib chiqadi. Tekshirib ko‘rish mumkinki, berilgan sistemaning ixtiyoriy ikkita vektori chiziqli erkli sistemani tashkil qiladi. Demak, berilgan vektorlar sistemasining ixtiyoriy ikkita vektori u sistemaning bazisini tashkil etadi va uning rangi 2 ga teng.
8. bo‘lib, haqiqiy sonlar maydoni ustida vektor fazo bo‘ladi. fazo fazoning qism fazosini tashkil qiladi.
9. - hafifiy sonlar maydoni ustidagi uch o‘lchovli vektor fazoning qism fazolarini tashkil qiladi shu bilan birga

Agar ni fvqat birgina usul bilan
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu joyda

10. fazo fazoning qism fazosini tashkil qiladi.
bo‘lsin, u holda

Bu ekvivalentlik munosabatiga nisbatan vektor hosil qilgan ekvivalentlik sinfini [ ] orqali belgilasak, [ fazoning U yo‘nalishdagi chiziqli ko‘pxilligi bo‘ladi. Agar , dan iborat bo‘ladi.