17-Ma’ruza. Deduksiya teoremasi. Mos keltirib chiqarish haqida lemma. To’liqlik haqida Gyodel teoremasi

4.3.2. Asoslarni qo’shish qonuni.
. (3)
Isboti. formulalar majmuasidan , , , , , , , keltirib chiqarish olinadi. Bu esa dan formula kelib chiqaishini anglatadi. Bu o’z navbatida umumlashgan deduksiya teoremasiga asosan (3) formulaning isbotlanuvchi ekanligini ko’rsatadi.
Asoslarni qo’shish qonunidan isbotlanuvchi formulalar uchun ushbu asoslarni qo’shish qoidasi

kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar

(4)
bo’lsa, u holda (3) va (4) formulalardan xulosa qoidalariga asosan ekanligini hosil qilamiz. ■
4.3.3. Asoslarni ajratish qonuni.
. (5)
Isboti. formulalar majmuasidan kelib chiqadigan keltirib chiqarishni qaraymiz. Bunda formulalar majmuasidan formulaning kelib chiqishi ko’rinib turibdi. U holda umumlashgan deduksiya teoremasiga asosan (5) formula isbotlanuvchi ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Asoslarni ajratish qonunidan isbotlanuvchi formulalar uchun ushbu asoslarni ajratish qoidasi

hosil bo’ladi. Haqiqatan ham, agar

(6)
bo’lsa, u holda (5) va (6) formulalardan xulosa qoidasiga asosan ekanligi kelib chiqadi.
4.3.4. .
Isboti. I₁ va IV₁ aksiomalarda quyidagi
va .
o’rniga qo’yishlarni bajarish natijasida ushbu
, (7)
(8)
isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz.
(7) va (8) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan

formula kelib chiqadi. Asoslarni birlashtirish qonunidan foydalanib,

formulani hosil qilamiz. Ikki karralik inkorni tushirish qoidasidan foydalanib,

formulaga ega bo’lamiz. Bu yerdan asoslarni ajratish qonunini qo’llab, isbotlanishi kerak bo’lgan (5) formulani keltirib chiqaramiz. ■

4.3.5. .
Isboti. III₃ aksiomada ning o’rniga ni qo’yamiz:
. (9)
II₁ va II₂ aksiomalardan
, (10)
(11)
formulalar kelib chiqadi. (10) va (11) formulalarga kontrpozisiya qoidasini qo’llab, ushbu formulalarni hosil qilamiz:
, (12)
. (13)
Bu formulalarga ikki karralik inkorni tushirish qoidasini qo’llab, quyidagi formulalarni keltirib chiqaramiz:
, (14)
. (15)
Endi (9), (14) va (15) formulalarga murakkab xulosa qoidasini qo’llab,
(16)
formulaga ega bo’lamiz.
Nihoyat, (16) formulaga avval kontrpozisiya qoidasini va so’ngra ikki karralik inkorni tushirish qoidasini qo’llab,

isbotlanishi kerak bo’lgan formulani hosil qilamiz. ■