18 Education and innovative research 2021 y. Sp. I. To’plamlar nazariyasi va matematik mantiq elementlarini o’qitishga doir

Таълим ва инновацион тадқиқотлар (2021 йил Махсус сон)
ISSN 2181-1709 (P)
20
Education and innovative research 2021 y. Sp.I.
tegishli ekanligini koʻrinishida, elementning toʻplamga tegishli emas ekanligini
koʻrinishida belgilaymiz. 
Cheksiz toʻplamlar odatda xarakterli xususiyatlari bilan beriladi. Xarakterli 
xususiyat degan biz faqat berilgan toʻplam uchun oʻrinli boʻlib qolgan biror toʻplam 
uchun ham oʻrinli boʻlmagan xossa tushiniladi. Masalan: N-natural sonlar toʻplami.
Odatda predmetlarni, ob’yektlarni birgalikda qaraganimizda toʻplam tushunchasiga
kelamiz. Lekin bu yuzaki qarash boʻlib ayrim olingan birta predmetning oʻzi ham toʻplam 
boʻla oladi, xattoki birorta elementga ega boʻlmagan- boʻsh toʻplam deb ataluvchi 
toʻplam ham mavjud. Bundan keyin boʻsh toʻplamni ∅-simvoli bilan belgilaumiz. 
Bizga ikki va toʻplamlar berilgan boʻlsin. Agar toʻplamning barcha elementlari
toʻplamda mavjud boʻlsa, u holda toʻplamni toʻplamning qismi (qism to’plami) deyiladi 
va koʻrininshda belgilanadi. Agarda toʻplamning barcha elementlari toʻplamda 
mavjud boʻlsa, va aksincha toʻplamning barcha elementlari toʻplamda mavjud boʻlsa 
bunday va toʻplamlar teng deyiladi va koʻrininshda yoziladi. Birorta toʻplamning 
qismi deb qaralmaydigan toʻplamga universal toʻplam deyiladi. 
Tenglamalar, tengsizliklar va ular sistemalarining yechimlarini, funksiyaning 
aniqlanish sohasini, funksiyaning uzluksizlik nuqtalari toʻplamlarini topish kabi 
masalalar nuqtaviy toʻplamlarga, ular ustidagi amallarga, toʻplamlarning turli 
sistemalarini oʻrganishga olib keladi. Berilgan ikki toʻplamga koʻra uchinchi 
toʻplamni hosil qilishning quyidagi usullari mavjud odatda bu usullarga toʻplamlar 
ustida amallar deb ataladi. Ular quyidagilardir: toʻplamlarning birlashmasi, kesishmasi, 
ayirmasi, simmetrik ayirmasi va Dekart koʻpaytmasidir. O’quvchilarga dars o’tishda 
shu amallarning barchasiga ta’rif berib misollar bilan tushuntirish lozim bo’ladi. 
Bunda Eyler-Venn diagrammalari yordamida tasvirlashdan foydalanish juda ham qilay.
Shundan keyin amallarning xossalarini keltirib oʻtish joiz boʻladi.
To`plamlarni Eylеr-Vеnn diagrammalari orqali tasvirlashning ba’zi ta’riflarini 
keltiramiz:
1 

U

A

А
 
 
1-shakl.

1) А

А=А; 2) А 

A
= U. 
 
U
А
B
U
A B
 
 
 
2-shakl.
A

 B ;
3
-shakl. 
 A

 B
;
 


А
B
U
A
B

4
-shakl.
A / B;
5-shakl
 . 
В
 
to`plamni 
 
А
 
to`plamgacha 
to`ldiruvchi to`plam.
 

 U
A
A U A B
6-shakl. 
А
to`plamni 
U
univ
е
rsal
7
-shakl. 
А
va 
В
to`plamlarning
to`plamgacha to`ldiruvchi to`plam .
simmеtrrik
ayirmasi. 

---

Образование и инновационные исследования (2021 год 
ISSN 2181-1717 (E)
21
http://interscience.uz
1 
Ma’ruzada shuningdek, matematik mantiq elementlarini 
oʻrta maktablarda oʻqitish yuz
asidan 
takliflar ham bayon qilinadi. 
1-teorema. Universal to
ʻ
plamning istalgan A,B,C qism to
ʻ
plamlari orasidagi munosabatlarni 
ifodalovchi quyidagi tengliklar ayniyatdir: 
1.
𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶.
1´. 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∩ 𝐶𝐶.
2.
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴.
2
´
. 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴.
3.
𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∪ (𝐴𝐴 ∪ 𝐶𝐶).
3
´
.
𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∪ (𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶)
. 
4.
𝐴𝐴 ∪ ∅ = 𝐴𝐴.
4
´
.
𝐴𝐴 ∩ 𝑈𝑈 = 𝐴𝐴.
5.
𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴̅ = 𝑈𝑈.
5
´
.
𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴̅ = ∅.
Agar 
𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵
va 
𝐵𝐵 ⊆ 𝐴𝐴
bo
ʻ
lsa , u holda A=B. Shu xossadan foydalanib yuqorida keltirilgan 
ayniyatlar isbot qilinadi
, ya’ni tenglikning chap tomonidagi har bir element uning oʻ
ng tomonida 
ham mavjud va aksincha ekanligini ko
ʻ
rsatish yetarli.
2-teorema.U universal to
ʻ
plamning istalgan A va B qism to
ʻ
plamlari uchun quyidagilar o
ʻ
rinli: 
6.
Hamma A lar uchun 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴
bo
ʻ
lsa , u holda 
𝐵𝐵 = ∅
.
6
´
. Agar istalgan A uchun
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴
bo
ʻ
lsa, u holda B=U. 
7 va 7
´
. Agar 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝑈𝑈
va 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∅
bo
ʻ
lsa, u holda 
𝐵𝐵 = 𝐴𝐴̅.
8 va 8
´
. 
𝐴𝐴̿ = 𝐴𝐴.
9. 
∅̅ = 𝑈𝑈.
9
´
. 
𝑈𝑈̅ = ∅.
10. 
𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴.
10
´
. 
𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴.
11.
𝐴𝐴 ∪ 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈.
11
´
.
𝐴𝐴 ∩ ∅ = ∅.
12. 
𝐴𝐴 ∪ (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴.
12
´
. 
𝐴𝐴 ∩ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴.
13. 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐴̅ ∩ 𝐵𝐵.̅
13
´
.
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐴̅ ∪ 𝐵𝐵.̅
2-teoremaning ayrim tengliklari maxsus nomga egadir. Masalan, 10 va10
´
- tengliklar 
idenpotentlik qonuni, 12 va 12
´
- tengliklar yutish qonuni, 13 va 13
´
- tengliklar de Morgan qonuni 
deb ataladi. 
Mantiq jarayonini turli matematik belgilar bilan ifodalashga intilish Arastuning 
asarlaridayoq uchraydi. XVI-XVII asrlarga kelib,, mexanika va matematika fani rivojlanishi bilan 
matematik metodni mantiqqa tadbiq etish imkoniyati kengaya bordi. Nemis faylasufi Leybnits har 
xil masalalarni yechishga imkon beruvchi mantiqiy matematik metod yaratishga intilib , mantiqni 
matematiklashtirishga asos soldi. Mantiqiy jarayonni matematik usullar yordamida ifodalash XIX 
asrlarga kelib rivojlana boshladi.
Teng kuchli formulalarga doir teoremalar. 
1-teorema. A va B formulalar teng kuchli bo
ʻ
lishi uchun
𝐴𝐴̅
va 
𝐵𝐵̅
formulalar teng kuchli 
bo
ʻ
lishi zarur va yetarli. 
Isboti. A=B bo
ʻ
lsin. U vaqtda hamma holatlarda formulalar bir xil qiymatga ega bo
ʻ
ladi. U 
holda
𝐴𝐴̅
va 
𝐵𝐵̅
formulalar ham chinlik jadvalining har bir satrida bir xil qiymatlarga ega 
bo
ʻ
ladi.Demak, 
𝐴𝐴̅ = 𝐵𝐵̅
va aksincha
𝐴𝐴̅ = 𝐵𝐵̅
dan A=B kelib chiqadi. 
2- teorema. A va B formulalar teng kuchli bo
ʻ
lishi uchun
𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵
formula aynan chin ( 
taftalogoya) bo
ʻ
lishi zarur va yetarli . 
Isbot. 1. A=B bo
ʻ
lsin . Bu holda, ekvivalentlik ta
ʻ
rifiga asosan , 
𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵
ning hamma 
satrlaridagi qiymatlari chindan iborat , demak 
𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵
taftalogiyani ifodalaydi. 
2. 
𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵
taftalogiya bo
ʻ
lsin. U holda
𝐴𝐴 ↔ 𝐵𝐵
har bir satrida chin qiymatga ega bo
ʻ
ladi. 
Bundan esa A va B ning har bir satrdagi qiymatlari bir xil bo
ʻladi, ya’ni A=B kelib chiqadi.
2017 -yilda M.A.Mizaahmedov va boshqa matematik olimlar tomonidan ishlab nashrdan 
chiqqan 10-sinf matematika darsligining I qismi I bobi to
ʻ
plamlar nazariyasiva matematik mantiq 

---