2-bob mulohazalar algebrasi 1-§. Mulohazalar va ular ustida amallar

2-§. MULOHAZALAR ALGEBRASI FORMULALARI

Mazkur bobning 1-paragrafida mulohazalar ustida mantiqiy amallar bilan tanishdik. Unda va mulohazalar bo‘lganda

( , , , ,

lar ham mulohaza bo‘lishini ko‘rdik. Ayni paytda bu mulohazalar va lardan tashkil topgan murakkab mulohazalarni ifodalaydi.
Aytaylik, chin, yolg‘on mulohaza bo‘lsin. Unda



chin mulohaza bo‘ladi.
Agar mulohaza yolg‘on, mulohaza chin bo‘lsa, unda



chin mulohaza bo‘ladi. Ravshanki,

bo‘lib, u mulohazalar va mantiqiy amallardan tashkil topgan ifodadir.

Shunga o‘xshash,

ham mulohazalar va amallardan tuzilgan ifoda bo‘ladi.

Endi mulohazalar va mantiqiy amallardan tashkil topgan ifodalarni chuqurroq o‘rganamiz.Bu formula tushunchasiga olib keladi.
Mulohazalar to‘plami hamda mantiqiy amallar , , , lardan tashkil topgan ushbu oltilik mulohazalar algebrasi deyiladi.
Bunda mulohazalar algebrasining asosiy to‘plami; , , , lar esa mulohazalar algebrasining asosiy amallari deyiladi.
Ma’lumki, mulohazalar turlicha bo‘lib, ularni biror o‘zgaruvchining «qiymatlari» deb qarash mumkin.
O‘zgarish sohasi mulohazalar to‘plamidan iborat bo‘lgan har qanday o‘zgaruvchi propozitsional o‘zgaruvchi deyiladi. Bunday o‘zgaruvchilar

harflari bilan belgilanadi.

Endi mulohazalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biri formula tushunchasini keltiramiz.
Mulohazalar algebrasining formulasi (qisqacha M.A.F) deyilganda mulohazalar va mantiqiy amallarning bog‘lanishidan tashkil topgan ifodani tushunamiz. Demak, biz yuqorida M.A.F ga bir necha bor duch kelgan ekanmiz.
M.A.F tushunchasi induktiv usulda beriladi.
2.1-ta’rif. 1) Har qanday propozitsional o‘zgaruvchi M.A.F sidir.
2) ifodalar M.A.F bo‘lsa, u holda
ifodalar ham M.A.F dir.
3) Boshqacha ko‘rinishli M.A.F yuq, ya’ni M.A.F lari faqat yuqorida keltirilgan 1 va 2 bandlarda aytilganlar yordamida hosil qilinadi.
Demak, propozitsional o‘zgaruvchilar, mantiqiy amallar (bog‘lovchilar) , va qavslardan tuzilgan ifodalar faqat va faqat 1 va 2 bandlar yordamida tashkil topsagina M.A.F bo‘lar ekan.
Misollar. 1. Ushbu

ifodani qaraylik.Ta’rifning 1) bandiga ko‘ra lar, 2) bandiga ko‘ra lar M.A.F bo‘ladi. Yana 2) bandga ko‘ra va ifodalarni M.A.F bo‘lishini topamiz.Demak,

ifoda M.A.F bo‘ladi.

2. Ushbu
ifodani qaraylik.
Ta’rifning 1 va 2 bandlariga binoan , lar va nihoyat

ifoda M.A.F bo‘ladi.

3. ifoda M.A.F bo‘ladi.

4. Ushbu

ifodani qaraylik.

Ravshanki, hamda , lar M.A.F bo‘ladi. Ayni paytda ifoda M.A.F emas, chunki unda butun ifodani o‘rovchi chap qavs etishmaydi.
Aytaylik, propozitsional o‘zgaruvchilar bo‘lsin. Bu o‘zgaruvchilardan tuzilgan M.A.F ni umumiy holda quyidagicha



belgilaymiz.
Endi da larning o‘rniga mos ravishda tayin olingan mulohazalarni qo‘yib

murakkab mulohazani hosil qilamiz.

Har bir mulohazaning qiymati ga ko‘ra, murakkab mulohazaning qiymati ushbu

tenglikdan topiladi.

Ma’lumki, har bir propozitsional o‘zgaruvchi 1 yoki 0 qiymatni (mulohaza chin bo‘lganda 1 ni, mulohaza yolg‘on bo‘lganda 0 ni) qabul qiladi.
Yuqorida keltirilgan dan ko‘rinadiki, murakkab mulohazaning qiymati ni mulohazalar o‘rniga, ularning mantiqiy qiymatlari 1 yoki 0 ni (1 yoki 0 simvollarni) qo‘yib, so‘ngra bu simvollarga nisbatan formulada ishtirok etgan amallar ketma-ket (chinlik jadvaliga binoan) bajarilishi natijasida topiladi.
Masalan,
bo‘lib,

bo‘lsin. Unda

bo‘ladi.
Odatda, bunday holda propozitsional o‘zgaruvchilar mos ravishda 1, 0,1 qiymatlarni qabul qilganda

formula 0 qiymatni qabul qiladi deyiladi. Ko‘p hollarda o‘rniga deb yozish qulay bo‘ladi.
Bu kelishuvga ko‘ra, o‘zgaruvchilarning chinlik qiymatlari bo‘lgan, (bunda yoki mulohazalar uchun
bo‘ladi deb olinishini bo‘lar ekan deb aytamiz.
Yuqoridagi misollardan ko’rinadiki, formulalarning yozuvlarini qavslar murakkablashtirib yuboradi. Bu murakkablikni yengillashtirish maqsadida mantiqiy amallarning “kuchi” tushunchasini kiritamiz.
Formulalarni o’zaro bog’laydigan eng “kuchli” amalni “ ” deb qabul qilamiz. Undan so‘ng formulalarni bog’lash “kuchiga” qarab mantiqiy amallar quyidagi tartibda joylashadi (“kuch” ning pasayishi tartibida ):



Bu kelishuvdan so‘ng 3- misolda reltirilgan formulani quyidagicha yozish mumkin: