2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

6-MA’RUZA. FUNKSIYALARNI LAGRANJ INTERPOLYATSION FORMULASI YORDAMIDA APPROKSIMATSIYALASH VA
EGRI CHIZIQ YASASH


Reja:
1. Masalaning qoʻyilishi

2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

3. Chiziqli interpolyatsiya

4. Kvadratik interpolyatsiya

5. Lagranj interpolyatsion koʻphadi

Tayanch soʻzlar: Lagranj koʻphadi, interpolyatsiya, approksimatsiya, maqsad funksiyasi, chiziqli interpolyatsiya, kvadratik interpolyatsiya

1. Masalaning qoʻyilishi

Koʻpincha amaliy masalalarni yechishda qandaydir funksional bog‘lanishlar qiymatlarini hisoblashga toʻg‘ri keladi. Bunday masalalarda ikkita holat boʻlishi mumkin:

1. [a, b] oraliqda х va y orasidagi oshkor bog‘lanish ma’lum boʻlmasdan, faqat {x_i, y_i}, tajriba ma’lumotlari jadvali ma’lum boʻlib, [x_i, x_i/2]  [a, b] oraliqda bog‘lanishni aniqlash talab qilinadi. Bu masalaga tajriba ma’lumotlari jadvalidagi qiymatlarni aniqlashtirish vazifasi ham kiradi.
2. bog‘lanish ma’lum va uzluksiz, biroq u shu qadar murakkabki, amaliy hisoblashlar uchun yaramaydi. Bunday holda funksiyani va uning ( va h.k.) xarakteristikalarini hisoblash ishlarini soddalashtirish masalasi koʻndalang boʻladi.
Shuning uchun moddiy resurslarni va vaqtni iqtisod qilish maqsadida qandaydir boshqa funksional bog‘lanish y=F(x) ni tuzish zarurati paydo boʻladi. Bu tuzilgan bog‘lanish ga uning asosiy parametrlari boʻyicha yaqin boʻlishi, hisoblash oson va qulay boʻlishi kerak, ya’ni funksiyaning aniqlanish sohasida yaqinlashtirish (approksimatsiyalash) masalasi hal qilinishi kerak. y = F(x) funksiyaga approksimatsiyalovchi funksiya deyiladi.
Bunday tipdagi masalalarni yechishda asosiy yondoshuv quyidagicha: tajribaning qandaydir ozod parametrlariga bog‘liq boʻlgan funksiya tanlanadi, ya’ni y = F(x) = (x, c₁, c₂, …, c_n) = (x, ).
f(x) va F(x) funksiyalarning qandaydir yaqinlik shartidan vektor tanlanadi. vektorni tanlash usullariga koʻra approksimatsiyaning turli koʻrinishlari mavjud.
Agar yaqinlashish biror {x_i}, i= diskret toʻplamda qurilsa, u holda approksimatsiyaga nuqtaviy approksimatsiya deyiladi.
Nuqtaviy approksimatsiyalash turlariga: interpolyatsiyalash; oʻrtacha kvadratik yaqinlashish kiradi.
Amaliyotda hozirgi paytda chiziqli approksimatsiya yaxshi oʻrganilgan va keng qoʻllaniladi, bunda interpolyatsion funksiya parametrga chiziqli bog‘langan umumlashgan koʻphad deb nomlanuvchi (x, ) funksiya koʻrinishida izlanadi:
F(x)=(x, )=c₁₁(x)+c₂₂(x)+…+c_n_n(x)= ; (6.1)
Bu yerda _k(x) – bazis funksiyalarning biror chiziqli bog‘liq boʻlmagan sistemasi.