2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

b). Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = x_i+1 – x_i = const oʻzgarmas boʻlsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:

x_i = x₀+ih, .

Yangi oʻzgaruvchi kiritamiz: . U holda

x – x_i = x₀ + th – x₀ – ih = (t – i)h .

(6.15) ayirmani (6.11) tenglikka qoʻyib, quyidagini hosil qilamiz:

Soʻngra, x_j – x_i = (x₀ + jh) – (x₀ + ih) = (j – i)h ekanligidan, (6.15) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:

,

bunda .

(6.16) ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: .

Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.14) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

;

Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:

x = 0,4 boʻlganda y  L(x) = 0,3999.

Berilgan jadval asosida n=1 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:

Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval asosida n=2 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:

y  L(x) =

Qaralayotgan [x₁, x₃] intervalda

x₀ = 0,1; x₁ = 0,3; x₂ = 0,5;

y₀ = 0; y₁ = 0,2; y₂ = 1

qiymatlarni olamiz. U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion koʻphadi hosil boʻladi:

Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Approksimatsiyalash deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Nuqtaviy approksimatsiyalash va uning turlari.
   
3. 
   Interpolyatsion koʻphad qanday tuzilishga ega?
   
4. 
   Lagranj interpolyatsion koʻphadi va uning nazariy xatoligi qanday aniqlanadi?
   

3.2-MA’RUZA. FUNKSIYANI HOSILA YORDAMIDA TЕKSHIRISH VA GRAFIGINI YASASH (EKSTRЕMUM, QAVARIQLIK, BOTIQLIK VA ASIMPTOTALAR)
Reja:

1. 
   Funksiyaning oʻsish va kamayish shartlari
   
2. 
   Funksiyaning ekstrеmum nuqtalari
   
3. 
   Ekstrеmumning zaruriy va еtarli shartlari
   
4. 
   Funksiyalarning kеsmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
   
5. 
   Ekstrеmumni ikkinchi tartibli hosila yordamida tеkshirish
   
6. 
   Funksiyalar grafigini qavariq va botiqlikka tеkshirish. Egilish nuqtalari
   
7. 
   Egri chiziqlarning asimпtotalari
   
8. 
   Grafik yasashning umumiy sxеmasi