22. Əyrixətli inteqralların inteqrallama yolunun formasından asılı olmaması

İkinci addım: 2→3. Tutaq ki, oblastının qeyd edilmiş, isə istənilən nöqtəsi, əyrisi və nöqtələrini birləşdirən və -də yerləşən hər hansı hissə-hissə hamar əyridir. 2 şərtinə əsasən

(3)

ifadəsi, əyrisindən asılı deyildir, buna görə də oblastında verilmiş bir funksiyasını ifadə edəcəkdir. Göstərək ki, hər bir nöqtəsində və xüsusi törəmələri var və uyğun olaraq

(3)

olur. və D oblastında kəsilməz olduqlarından axırıncı münasibətlərindən funksiyanın diferensiallanan olması və (1) bərabərliyi alınacaqdır, çünki,

olacaqdır. Bununla da ikinci addım, yəni 2→3 münasibəti isbat edilmiş olacaqdır.

Məs: -in varlığını və olduğunu göstərək. nöqtəsini qeyd edərək, -ə elə kiçik artımı verək ki, və nöqtələrini birləşdirən parçası oblastında yerləşsin, onda

olar. parçasında sabit olduğundan olacaqdır. Nəticədə

olar.

Axırıncı inteqrala orta qiymət haqqındakı teoremi tətbiq edərək, alarıq:

, buradan da , yəni olar.

Beləcə də, olduğunu göstərə bilərik. Deməli olur. (2) bərabərliyini göstərmək üçün AB əyrisinin parametrik tənliklərlə təyin edilməsindən, başqa sözlə, əyrixətli inteqralın hesablanması qaydasından istifadə edək. Onda alarıq:

olar.

Beləliklə, (2) bərabərliyi isbat olunur.

Üçüncü addım: 3→1. Bu hökmün doğruluğu (2) bərabərliyindən, yəni münasibətindən alınır. Doğurdan da, qapalı əyrisi üçün başlanğıc və son nöqtələr üst-üstə düşür, onda (2) bərabərliyinə görə

olar.

Bununla da teorem 1 isbat olunur.

Qeyd. Qeyd etmişik ki, teorem 1-in 1, 2, 3 şərtləri eynigüclüdürlər və buna görə də, xüsusi halda üç şərt oblastının verilmiş istənilən A və B nöqtələrini birləşdirən əyrisinin seçilməsindən, əyrixətli inteqralının asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərti ifadə edir.

İndi birrabitəli oblastlar üçün diferensial formasının hər hansı funksiyasının tam diferensialı olması üçün zəruri və kafi şərtin münasib (əhəmiyyətli) tətbiqini göstərək. Təbii olaraq bu şərt, D oblastının verilmiş istənilən A və B nöqtələrini birləşdirən L əyrisinin seçilməsindən əyrixətli inteqralının asılı olmaması üçün zəruri və kafi şərt olacaqdır.

Tərif: Əgər D oblastının daxilində yerləşən istənilən qapalı L konturunun əhatə etdiyi sonlu müstəvi hissəsi yenə də həmin D oblastının özünə (tamamilə) daxil olursa, onda ona birrabitəli (birəlaqəli) oblast deyilir.

Birrabitəli oblastlar belə bir xassəyə malikdir ki, (oblastdan kənara çıxmadan) bir nöqtəyə sıxmaq olar.

Teorem 2. Tutaq ki, və funksiyaları və xüsusi törəmələri ilə birlikdə birrabitəli məhdud D oblastında təyin olunub və kəsilməzdirlər. Onda teorem 1-in 1), 2), 3) şərtlərindən hər biri oblastında

4. şərtinə ekvivalentdir.