2-teorema.Agar ixtiyoriy chekli va to‘plamlar uchun bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Isboti o‘quvchiga havola qilinadi.
Demak, qo‘shish qoidasiga ko‘ra, kesishmaydigan ikkita to‘plam birlashmasining quvvati shu to‘plamlar quvvatlarining yig‘indisiga tengdir.
Ko‘paytirish qoidasiga asosan, ta elementli va ta elementli to‘plamlarning elementlaridan tuzish mumkin bo‘lgan barcha ( , ) kortejlar (juftliklar) soni ga teng. Bu qoida “va” qoidasi deb ham ataladi. Uni quyidagi teorema ko‘rinishda ifodalash ham mumkin.
3-teorema.Ixtiyoriy chekli va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir. Isboti o‘quvchiga havola qilinadi.
Demak, ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra, ixtiyoriy ikkita chekli to‘plam Dekart ko‘paytmasining quvvati shu to‘plamlar quvvatlarining ko‘paytmasiga tengdir.
Umumiy holda, agar chekli va to‘plamlar hech bo‘lmaganda bitta umumiy elementga ega bo‘lsa, u holda yigindining qiymatini aniqlashda to‘plamning ba’zi elementlarini, aniqrog‘i, to‘plamning elementlarini ikki marta hisobga olishga to‘g‘ri keladi. Bu mulohaza asosida quyidagi tasdiqqa kelamiz.
4-teorema.Ixtiyoriy chekli va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir. Isboti. Osonlik bilan ko‘rish mumkinki:
a) va ;
b) va .
Bu munosabatlarga 2-teoremani qo‘llasak, mos ravishda va tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklardan isbotlanishi kerak bo‘lgan tenglikni hosil qilish qiyin emas.
4-teoremaning tasdig‘ini umumiy holda ikkita chekli to‘plamlar birlashmasining quvvatini hisoblash qoidasi deyish mumkin. Bu qoidaning ma’nosidan kelib chiqqan holda, uni kiritish va chiqarish qoidasi deb atash qabul qilingan.
Ravshanki, 4-teoremada keltirilgan tenglikdan foydalanib , , va miqdorlarning ixtiyoriy uchtasi ma‘lum bo‘lganda to‘rtinchisini hisoblash formulasini hosil qilish mumkin.
Yuqorida bayon qilingan ikkita to‘plam uchun qo‘shish, ko‘paytirish hamda kiritish va chiqarish qoidalarini chekli sondagi istalgan chekli to‘plamlar uchun umumlashtirish mumkin.
Avvalo, kiritish va chiqarish qoidasining umumlasmasi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz.
