22-Mavzu. Sonli qatorlar. Funksional qatorlar Reja: Sonli qatorlar

Yechish.
Bеrilgаn qаtоrdа
.
. 
Dаrаjаli qаtоrlаrni hadma-had diffеrеntsiаllаsh vа intеgrаllаsh 
 
Dаrаjаli qаtоr o’zining 
yaqinlаshish sоhаsidа 
o’zgаruvining
funksiyasini аniqlаydi. 
Bu 
funksiya 
yaqinlashish sоhаsidа uzluksiz bo’lib, istаlgаn 
tаrtibli uzluksiz hosilalаrgа egаdir. Shu bilаn birgа 
hosila yuqoridagi qаtоr 
hаdlаrining hosilalаri yig’indisigа tеngdir, ya’ni
. 
Хuddi shuningdеk,
vа hаkаzо. 
Bu хоssа, оdаtdа «dаrаjаli qаtоrni hаdmа-hаd diffеrеnsiаllаsh» хоssаsi dеb 
yuritilаdi.
0
x
x

0
x
x

x
x
0

М
x
М
x

x
М
x

М


М
М
,

М


R
М
1




n
n
n
a
a
im
М

n
n
n
a
im
М
1




R


M
R

R
  

;
D
R R
  
x
R
 
x
R










0
2
1
n
n
n
x
x
x
x



,
3
,
2
,
1
,
1


n
a
n
1
1
1








n
n
n
n
im
a
a
im
R




R
R
;

x
 




0
n
n
n
x
a
x
f
 
x
f


R
R
;

 
x
f

 












1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
x
na
x
a
n
x
a
a
x
f


 









2
2
1
n
n
n
x
a
n
n
x
f
 











3
3
2
1
n
n
n
x
a
n
n
n
x
f

---

Ya’ni 
оrаliqdаn оlingаn hаr qаndаy uchun
Qatorlar nazariyasining iqtisodiyotdagi tadbiqlari 
To’lovlar oqimining hozirgi qiymati 
 
Oldingi mavzularda 
ketma-ketlik hozirgi pul qiymatlar 
yig’indisini ifodalab, kelajakdagi T vaqt oraliqda V pul qiymatli olingan. Ko’p 
iqtisodiy sharoitda, biz bunday miqdorda bir qator joriy qiymati teng bo’lishigini 
talab qilishimiz kerak. Masalan, yuridik va jismoniy shaxlarga berilgan uzoq 
vaqtli kredit yoki ipoteka mablag’i kelajakda kelib tushadigan pul miqdoriga 
oqimi evaziga beriladi. Shunday qilib, r foizli stavkada T yil uchun jismoniy 
shaxs har yil oxirida pul to’lab borsa, u holda bu to’lovlar oqimi hozirgi qiymati 
quyidagicha
. (1) 
(1) formuladagi o’zgaruvchilarning o’zaro munosabatlari ipoteka 
jadvalidan kelib chiqqan. Qoida bo’yicha ular har oylik to’lov asosda hisoblanib, 
bu holatda mos keluvchi foiz stavkasi r/12 bo’ladi, bu yerda r yillik o’sish va T 
yillik to’lov emas balki oylik to’lov hisoblanadi. Shu bilan birga, yillik to’lov 
asosida to’lanadigan quyidagi misolni qaraylik. Yiliga 8 %li $100.000
miqdordagi 25 yil uchun olingan kreditni har yili yopish uchun V=$9,367.88 pul 
miqdorni to’lab borishi kerak. Agar bu kredit 50 yil uchun olingan bo’lsa, u holda 
yillik to’lov V=$8,174.28 ni tashkil etadi. Agar to’lovlar muddatsiz berilgan 
bo’lsa, u holda biz 
cheksiz 
geometrik 
progressiyadan foydalanishimiz mumkin, unda 
. (2) 
Shunday qilib, yuqoridagi misolimiz uchun V=rP=$8,000 ega bo’lamiz, bu 
esa 50 yil uchun berilgan kreditni yillik to’loviga yaqin pul miqdoridir. Buning 
sababi shuni ko’rsatadiki, shu kundan boshlab 50 yil $8,000 oladi, bu yerda yillik 
fozi stavkasi 8% bo’lib, 
tashkil etadi. Hozirgi 
qiymatdagi to’langan barcha summa $8,000, 50 yildan so’ng olingan qiymat 
quyidagicha:
bizning misol uchun taxminan 2.1% li farqni tashkil etadi, ya’ni $2,132.13 
(100,000-$97,867.87). Shunday qilib, vaqtlar soni yoki foiz stavkasi juda kichik 
bo’lmasligi shartlarni hisobga olib, biz cheksiz qator formulasidan foydalanib, 
chekli qatorning hozirgi qiymatiga yaqin baholarni olishimiz mumkin bo’ladi. 
Oxirgi shartning sababi shundaki, agar r nolga intilsa, unda chegirma koeffitsienti 


R
R
;

x
 












1
3
2
1
3
2
2
1
0
n
x
a
x
a
x
a
x
a
C
dx
x
f
n
n


/ 1
t
t
PV
V
r



 
 



1
2
1
...
1
1
1
1
T
T
t
T
t
V
V
V
V
P
r
r
r
r




 









/ 1
,
1 / 1
a
V
r
p
r












1
/ 1
lim
1
1 / 1
1
T
T
t
n
t
V
r
V
V
P
r
r
r












50
$8,000 / 1 0.08
$170.57






50
50
1
lim
lim
1
1
T
T
t
t
T
T
t
t
V
V
P
r
r











---

birga intiladi va shu sababli kelajakdagi to’lovlar ko’p miqdordagi 
pulni tashlab bermaydi va uni bekor qilib bo’lmaydi. Umuman olganda, agar foiz 
stavka 1% 1/2 qismini tashkil etsa, u holda $ 8,000 ko’rsatkichli cheksiz kiruvchi 
pul miqdorning hozirgi qiymati bir yilda $1.6 million bo’ladi va 50 - yilda esa 
hozirgi to’lovning qiymati
hamda hamma qo’yilgan miqdorning 78%idir, oldingi 2.1% ga aniqlik bilan 
solishtirganda tashkil etib, agarda foiz stavkasi yiliga 8% bo’lsa.
Misol.
Faraz qilaylik yiliga uzluksiz teng oqimli qiymatlar summasi 
$10,000 bo’lib, yiliga 6% foiz stavka bilan qo’yilsin. Unda quyidagilarni 
hisoblang:
(i) Hozirgi qiymatning barcha oqim foydasini; (ii) 50 - yilidan boshlab 
hozirgi qiymatning foydasini;
(iii) Boshlang’ich 50 yildagi foyda 
qiymatini.