23- ma’ruza ikki karrali integral ta’rifi. Ikki karrali integralning mavjudlik sharti. Ikki karrali integralning xossalari. Reja

23.2. Ikki karrali integral ta’rifi

23.3-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig’indisi

chekli limitga ega bo’lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman ma’nosida) funksiya deyiladi. Bu integral yig’indining chekli limiti I songa esa, funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.


23.3. Ikki karrali integralning mavjudlik sharti

23.1- teorema. funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linishga nisbatan Darbu yig’indilari

(23.1)
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.

Agar funksiyaning sohadagi tebranishni deb belgilasak, u holda (23.1) shart

(23.2)
shartga ekvivalent bo’ladi.

23.4. Integrallanuvchi funksiyalarning sinflari

23.2- teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq ( ) sohada berilgan va uzluksiz bo’lsa, u shu sohada integrallanuvchi bo’ladi.

23.3- teorema. Agar funksiya sohada chegaralangan va bu sohaning chekli sondagi nol yuzli chiziqlarida uzilishga ega bo’lib, sohaning qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lsa, bu funksiya sohada integrallanuvchi bo’ladi.
Ikki karrali integrallar yordamida tekis shaklning yuzi, jismning xajmlarini topish mumkin. Integral ta’rifidan bevosita (D) shaklning yuzi



bo’lishi kelib chiqadi.

23.6. Ikki krrali integralning xossalari

1°. funksiya ( ) sohada integrallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning sohada bo’tunlay yotuvchi nol yuzaga ega bo’lgan chiziqdagi qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o’zgartirishdan hosil bo’lgan funksiya ham sohada integrallanuvchi bo’lib,

bo’ladi.

2°. funksiya sohada berilgan bo’lib, soha nol yuzli chiziq yordamida (D₁) va (D₂) sohalarga ajralgan bo’lsin. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u (D₁) va (D₂) sohalarda ham integrallanuvchi bo’ladi va
munosabat o’rinli.

3°. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi va

formula o’rinli.

4°. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va


formula o’rinli bo’ladi.


Natija. Agar funksiyalarning har biri sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va


tenglik o’rinli bo’ladi.

5°. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib, uchun bo’lsa, u holda

bo’ladi.