3- §. To‘plamlar algebrasi

2- teorema (birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuni). Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglik³ o‘rinlidir.
Isboti. To‘plamlarning birlashmasiga berilgan ta’rifga ko‘ra, to‘plamning har bir elementi yo to‘plamda yoki to‘plamda topiladi, chunki to‘plam va to‘plamlarning barcha elementlaridan takrorlanmasdan tuzilgan. Yana o‘sha ta’rifga ko‘ra, to‘plam ham va to‘plamlarning barcha elementlaridan takrorlanmasdan tuzilganligi uchun to‘plamning har bir elementi to‘plamga ham tegishli bo‘ladi. Xuddi shunday mulohazalarni to‘plam uchun yuritib, uning har bir elementi to‘plamda ham bor bo‘lishini aniqlaymiz. Demak, . ■
3- teorema (birlashmaga nisbatan assosiativlik qonuni). Ixtiyoriy , va to‘plamlar uchun tenglik⁴ o‘rinlidir.
Isboti. to‘plamning ixtiyoriy elementi bo‘lsin. Birlashmaning ta’rifini qo‘llasak, quyidagilarga ega bo‘lamiz: yoki . munosabatdan yoki ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoki . Shuning uchun . Xuddi shunday mulohaza yuritib, to‘plamning ixtiyoriy elementi to‘plamning ham elementi bo‘lishini aniqlaymiz. Demak, . ■
Birlashmaga nisbatan assosiativlik qonuniga ko‘ra , va to‘plamlarga birlashma amalini qanday tartibda qo‘llashning ahamiyati yo‘q. Shuning uchun , va to‘plamlarga birlashma amalini qo‘llash natijasida hosil bo‘lgan to‘plamni deb belgilash ham mumkin.
Ikkita to‘plamning birlashmasi amaliga berilgan ta’rif ixtiyoriy chekli sondagi to‘plamlarning birlashmasi uchun ham qo‘llanilishi mumkin⁵: har qanday chekli sondagi to‘plamlarning barcha elementlaridan takrorlanmasdan tuzilgan to‘plamga shu to‘plamlarning birlashmasi deb aytiladi. to‘plamlarning birlashmasini yoki ko‘rinishda belgilash qabul qilingan.
Birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuniga ko‘ra, birlashma to‘plamni quyidagi usul bilan ham tashkil etish mumkin. Oldin berilgan to‘plamlardan ixtiyoriy ikkitasining, masalan va to‘plamlarning birlashmasini tuzish, keyin to‘plam bilan , to‘plamlardan boshqa ixtiyoriy to‘plamning birlashmasini tuzish, va hokazo, ketma-ket birlashma to‘plamlarni tuzish natijasida to‘plamlarning birlashmasini hosil qilish mumkin.
Har biri chekli bo‘lgan to‘plamlar uchun munosabat o‘rinlidir. Bu munosabat berilgan to‘plamlarning hech bo‘lmaganda ikkitasi umumiy elementga ega bo‘lsagina qat’iy tengsizlik ko‘rinishda va berilgan to‘lamlarning barcha mumkin bo‘lgan juftlari umumiy elementga ega bo‘lmasagina tenglik ko‘rinishda bajariladi. Bu tasdiqlar kombinatorikaga bag‘ishlangan II bobning 1- paragrafidagi 5- teoremadan kelib chiqadi.