3- §. To‘plamlar algebrasi

1- misol. , , va bo‘lsin. U holda va bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, . Bu yerdagi barcha to‘plamlarning quvvatlarini aniqlaymiz: , , , , va . Ular uchun ( va to‘plamlarda ikkita umumiy va elementlar bor) va ( bilan , bilan va bilan juftliklar umumiy elementga ega emas). ■
4- teorema (kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuni). Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir.
Isboti. To‘plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko‘ra, to‘plamning har bir elementi va to‘plamlarning ikkalasiga ham tegishli. Xuddi suningdek, to‘plam va to‘plamlarning umumiy elemertlaridan tuzilganligi uchun to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham topiladi. Shu kabi mulohazalar asosida to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham bor bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Demak, . ■
5- teorema (kesishmaga nisbatan assosiativlik qonuni). Ixtiyoriy , va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir.
Isboti. to‘plamning ixtiyoriy elementini qaraymiz. To‘plamlar kesishmasining ta’rifiga asosan, va . Bu yerdan va ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun va bo‘ladi. Demak, . Xuddi shunga o‘xshash mulohaza yuritib, to‘plamning ixtiyoriy elementi to‘plamning ham elementi bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Demak, . ■
Kesishmaga nisbatan assosiativlik qonuniga ko‘ra , va to‘plamlarga kesishma amalini qanday tartibda qo‘llashning ahamiyati yo‘q. Shuning uchun , va to‘plamlarning kesishmasini deb belgilash ham mumkin.
Ikkita to‘plamlarning kesishmasi tushunchasiga berilgan ta’rif ixtiyoriy chekli sondagi to‘plamlarning kesishmasi uchun ham qo‘llanilishi mumkin: har qanday chekli sondagi to‘plamlarning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to‘plamga shu to‘plamlarning kesishmasi deb aytiladi. to‘plamlarning kesishmasi uchun yoki ko‘rinishdagi belgilash qabul qilingan.
Kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuniga ko‘ra, to‘plamlarning kesishmasini ikkita to‘plamlar kesishmasi amalini istalgan tartibda ketme-ket qo‘llab hosil qilish mumkin: dastlab berilgan to‘plamlardan ixtiyoriy ikkitasining, masalan va to‘plamlarning kesishmasini tuzish, keyin to‘plam bilan , to‘plamlardan boshqa ixtiyoriy to‘plamning kesishmasini tuzish, va hokazo, shunday davom etib, to‘plamlarning kesishmasini hosil qilish mumkin.
Chekli to‘plamlar uchun munosabat o‘rinlidir. Berilgan to‘plamlardan birortasi qolgan barcha to‘plamlarning qism to‘plami bo‘lsagina bu munosabatda tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari, to‘plam berilgan barcha to‘plamlarning xos qism to‘plami bo‘lsagina yuqoridagi munosabat qat’iy tengsizlik ko‘rinishida bajariladi. Kombinatorikaga oid tushunchalar yordamida to‘plamning quvvatini hisoblash formulasi II bobning 1- paragrafidagi 7- teoremada keltiriladi.