3- §. To‘plamlar algebrasi

3
- §. To‘plamlar algebrasi

3- §. To‘plamlar algebrasi


Idempotentlik, kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik, de Morgan va yutilish qonunlari, to‘plam, element, algebra, ikki taraflama tenglik, o‘zaro ikki taraflama tengliklar.


3.1. Asosiy qonunlar. To‘plamlar algebrasida, umuman olganda, sonlar algebrasidagi munosabatlarga o‘xshash munosabatlar qaraladi. To‘plamlar algebrasidagi munosabatlar universal to‘plamning va uning xos qism to‘plamlarining qanday bo‘lishidan qat’iy nazar o‘z kuchini saqlaydilar. Bu yerda, asosan, birlashma, kesishma, ayirma va to‘ldirish amallari o‘rtasidagi o‘zaro munosabatlar muhim hisoblanadi.
To‘plamlar nazariyasidagi munosabatlar, ko‘pincha, tengliklar ko‘rinishida namoyon bo‘ladi. Bu yerda tengliklarni isbotlashda hajmiylik aksiomasidan foydalangan holda quyidagicha mulohaza yuritish usuli ko‘p qo‘llaniladi. Agar tenglikning chap tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element u’ning o‘ng tomonidagi to‘plamda ham topilib va, aksincha, tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element uning chap tomonidagi to‘plamda ham bor bo‘lsa, u holda bu tenglik to‘g‘ridir. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglikni isbotlash va munosabatlarning to‘g‘riligini ko‘rsatishga tengkuchlidir.
Odatda, to‘plamlar algebrasidagi “ ”, “ ” va “ ” belgilar bilan ifodalanuvchi birlashma, kesishma va ayirma amallari, bo‘sh ( ) va universal ( ) top’lamlar hamda xos ( ) va xosmas ( ) qism to‘plamlar, mos ravishda, sonlar algebrasidagi “+”, “×” va “–” belgilar bilan ifodalanuvchi qo‘shish, ko‘paytirish va ayirish amallari, nol (0) va bir (1) sonlar hamda katta emas ( ) va kichik ( ) munosabatlari bilan qiyoslanadi.
To‘plamlar ustida munosabatlarni ifodalovchi asosiy tengliklarni qarab chiqamiz.
1- teorema. Universal to‘plam va uning ixtiyoriy qism to‘plami uchun quyidagi tengliklar o‘rinlidir:
1. (Nolning xossalari). , , , .
2. (Birning xossalari). , , , .
3. (Idempotentlik¹ qonuni). , .
4. (Nol va birning bog‘liqligi xossasi). , .
5. (Involyutivlik qonuni²). .
Isboti. Bu tengliklarni isbotlash uchun, yuqorida ta’kidlaganimizdek, hajmiylik aksiomasidan foydalanamiz. Shuni e’tiborga olsak, isbotlanishi kerak bo‘lgan barcha tengliklar to‘plamlarning birlashmasi, kesishmasi va to‘ldiruvchisi ta’rilaridan bevosita kelib chiqadi. Bu yerda faqat oxirgi tenglikning isbotini to‘liq keltirish bilan chegaralanamiz.
to‘plam universal to‘plamning ixtiyoriy qism to‘plami va to‘plam to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘lgani uchun, to‘plamning hech qaysi elementi to‘plamga tegishli emas. Demak, to‘plamning barcha elementlari to‘plamga tegishlidir, ya’ni . Aksincha, to‘plamning hech qaysi elementi to‘plamga tegishli emas, demak, to‘plamning barcha elementlari to‘plamga tegishlidir, ya’ni . Shuning uchun, . ■