3- §. To‘plamlar algebrasi

10- teorema. Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir.
Isboti. Ixtiyoriy va to‘plamlar universal to‘plamning qism to‘plamlari bo‘lsin. bo‘lgani uchun 1- teoremaga (1- bandiga qarang) asosan munosabat o‘rinlidir. Oxirgi tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda uchun kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini qo‘llab, uni ko‘rinishga keltiramiz. Endi va tengliklarni e’tiborga olsak, kelib chiqadi. ■
11- teorema. Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglik o‘rinlidir.
Isboti. Avvalo kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini, keyin esa idempotentlik qonunini qo‘llasak, isbotlanishi kerak bo‘lgan tenglikning chap tomoni uchun

munosabatlar o‘rinli bo‘lishini aniqlaymiz. 10- teoremaga asosan . ■
10- va 11- teoremalarda isbotlangan va tengliklar yutilish qonunlari deb ataladi.
Yuqorida isbotlangan teoremalarda keltirilgan tengliklarni tahlil qilinganda ularning ba’zi xususiyatlarini payqash mumkin. Masalan, 6- va 7-, 8- va 9- hamda 10- va 11- teoremalardagi tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‘zaro almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning xossalari bilan birning xossalari to‘g‘risida ham quyidagilarni aytish mumkin: bu xossalarni ifodalovchi tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‘zaro almashtirish hamda va belgilarni o‘zaro almashtirish natijasida kelib chiqadi.
To‘plamlar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor bo‘lsa) belgisini belgisiga, ni ga, ni ga, ni ga birdaniga almashtirish natijasida boshqa tenglikni hosil qilish mumkin bo‘lsa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka ikki taraflama (qo‘shma) tenglik deb ataladi.
Ravshanki, biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki taraflama tenglik dastlabki tenglik bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun bu tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) tengliklar deb ataladi. Masalan, nolning xossasini ifodalovchi va birning xossasini ifodalovchi tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) tengliklardir.