6-mavzu: funksiya differensiali va differensial hisobning iqtisodga tadbiqlari

Misol. umumiy xarajat funksiyasi va to’la foyda funksiyasi bo’yicha foyda maksimumga erishadigan ishlab chiqarish hajmni toping.
Yechish. Dastlab, MC va MR funksiyalarini


va ular kesishadigan nuqtani aniqlaymiz. MC = MR da ular kesishadi.
,

Demak, yoki .
Bu ikki ishlab chiqarishda, MC va MR grafiklar kesishgan nuqtada, maksimizatsiyaning ikkinchi sharti bajariladimi? Bu savolga javob berish uchun, daromad funksiyasini aniqlaymiz va uni maksimumini topamiz. Demak, daromad

Differensiallab va nolga tenglab

(5) va (3) tenglamalar yechishga ega emas, demak, ikkita yoki yechishlar bor. Shunga qaramasdan, ikkinchi shart yordamida tekshiramiz.
(4) dan ikkinchi hosila hisoblab
bo’lsa, va minimumga erishadi.
bo’lsa, va maximumga erishadi.
Shuning uchun MR va MC chiziqlarining faqat bitta kesishish nuqtasi maksimumga erishishning ikkinchi shartini qanoatlantiradi. Bu MC MR ni quyidan kesgan nuqtadir. Bu tasdiqni quyidagicha isbotlaylik:
(1) ni differensiallab
(2) ni differensiallab
da MC og’ishi ( ya’ni, MR manfiy qiya og’adi).
da MC og’ishi (ya’ni, MR musbat og’adi).
Shuning uchun da MC MR ga nisbatan mafigi qiya og’ishga ega bolib, uni yuqoridan kesadi. da MC musbat og’ishga ega bolib, MR ni quyidan kesadi.³
Zahiralarni boshqarish

Tadbiqlarda funksiya maksimumi yoki minimumini topishda og’ishi nol bo’lgan nuqtada ikkikchi shartlar albatta qo’llanilishi kerakligini tushuntiramiz. Tahlilning bu tadbiqlari firma uchun buyurma hajmi optimallashtirish va saqlash xarajatlarini minimallashtirish uchun zarur hisoblanadi. Ishlab chiqarish kompaniyasi komponentalar narxidan tashqari xarajatlarni ham hisobga olishi kerak. Bu xarajatlarga

1. 
   Qaytma xarajatlar:har bir buyurma o’zida ishga xarajatni, yetqazib berish xarajatini, tushurish va h.k kabi xarajarlarni mujassamlashtiradi.
   
2. 
   saqlashga xarajatlar: qancha ko’p mahsulot bo’lsa shuncha ko’p joy kerak. Shuningdek firma kapitalining alternative qiymati ham mavjud.
   

Agar firma bi nechta katta buyurtma bersa, saqlash xarajatlari katta bo’ladi, ikkinchi tomondan agar ko’p mayda buyurtma bersa buyurtma xarajatlari katta bo’ladi. u holda optimal hajmdagi buyurtma miqdorini qanday aniqlash mumkin?
Yil davomida (Q) komponentaga bo’lgan talab teng taqsimlangan bo’lsin. Har bir yangi buyurma miqdori bir xil q bo’lib, zahiradagi mahsulotlar keying partiya buyurma kelgunicha to’la tarqatilsin. Har bir buyurmaga xarajatlar doimiy F va bir birlik mahsulot saqlash xarajatlari S bo’lsin. Agar q hajmdagi buyurtma bir xil tezlikda kamaysa, u holda o’rtacha buyurtma miqdor q/2 bo’ladi. (bu hol 9.5 rasmda ko’rsatilgan bo’lib, T buyurtmalar orasidagi interval.) Shunday qilib, butun yil davomidagi umumiy saqlash uchun xarajatlar (q/2)S bo’ladi.
Yil davomidagi buyurtmalar soni Q/q bo’ladi. demak, yil davomidagi umumiy xarajatlar (Q/q)F bo’ladi.
Firma umumiy xarajatlari hajmi plyus saqlash xarajatlari minimum bo’ladigan TC buyurtma mahsulot hajmini aniqlashidan manfaatdordir.
Matematik nuqtai nazardan, bu q ning shunday miqdorini aniqlash zarurki, bunda

funksiya minimumga erishishini anglatadi, bu yerda Q, F va S berilgan sonlar. Bu ifodani q bo’yicha differensiallab quyidagini hosil qilamiz:

Statsionar nuqtani topish uchun


Shuning uchun buyurtmaning optimal miqdori quyidagicha bo’ladi:

Demak, q miqdor Q umumiy yillik talab va F va S berilganlarning kvadrat ildiziga teng ekan.
Ikkinchi tartibli shartlar asosida bu buyurtma miqdori minimal ekanligini tekshirish zarur. Agar (1) ni quyidagicha yozsak,

u holda

Bu yerda Q, F va q musbat sonlar.
Shuning uchun, birinchi shartni bajaruvchi har qanday (2) ko’rinishdagi
q musbat son uchun minimum uchun ikkinchi shart ham bajarilishi zarur.
Misol. Firma yil davomida bit xil talab bilan 200 000 birlik mahsulotdan foydalanmoqda. Har bir birlik qo’shimcha mahsulot uchun narxga £80 miqdor qo’shiladi. Bir birlik mahsulotning bir yil davomida saqlanishi uchun £8 miqdorda sarf talab qilinadi. Buyurtmaning optimal qiymati qanday?