6-mavzu to’lqin tenglamasi uchun koshi masalasining qo’yilishi va uni yechish usuli

6-MAVZU
TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASINING QO’YILISHI VA UNI YECHISH USULI.

To'lqin tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi deb o'zining birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz va da


tenglamani, da esa

boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topishga aytiladi, bu yerda - berilgan funksiyalar.
1. Agar da va lar o'zining birinchi, o'zining birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz bo'lsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona b'olib, u



Dalamber formulasi orqali ifodalanadi.
1-Misol. tenglama uchun qo'yilgan quyidagi



Koshi masalasining yechimini toping.

Yechish. (3) Dalamber formulasiga ko'ra, berilgan tenglama va (4) shartdan foydalanib yechim uchun quyidagi

formulani hosil qilamiz. Demak, tenglama uchun qo'yilgan (4) Koshi masalasining yechimi funksiyadan iboratdir.
Agar xususiy hosilali differensial tenglama

ko'rinishda berilgan bo'lsa, u holda bu tenglama uchun qo'yilgan

yoki

qo'shimcha shartli Koshi masalasini yechish uchun xarakteristikalar usulidan foydalaniladi. Bu yerda yoki funksiyalar (5) tenglamaning xarakteristikalarini qaralayotgan sohada bittadan ortiq nuqtada kesib o'tmaydigan uzluksiz egri chiziqlar.
2-Misol. tenglama uchun qo'yilgan quyidagi

Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani

almashtirish yordamida

ko'rinishga keltirish mumkin (ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni kanonik shaklga keltirish mavzusiga qarang). Uning umumiy yechimi

ko'rinishda bo'ladi. Bunda va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar. Bu formuladan oldingi o'zgaruvchilarga qaytib berilgan tenglamaning umumiy yechimi

funksiyadan iborat ekanligini olamiz.
va funksiyalarni aniqlash uchun (9) ni (8) shartlarga qo'yamiz va ushbu

sistemani olamiz. Uni va ga nisbatan yechib,

ifodalarga ega bo'lamiz. Bularni (9) ga qo'ysak,

hosil bo'ladi. Bu esa berilgan tenglama uchun Koshi masalasining yechimidir.


2. Agar da shartlar bajarilsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo'lib, u