7 – Ma’ruza. Chiziqsiz tenglamalarni yechish

7 – Ma’ruza.
Chiziqsiz tenglamalarni yechish.
Reja.

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Oddiy iteratsiya metodi.
   
3. 
   Nton metodi.
   
4. 
   О‘zgartirilgan Nyuton metodi.
   
5. 
   Interpolyatsiya metodi.
   
6. 
   Teskari inerpolyatsiya metodi.
   
7. 
   Oddiy interpolitsiya metodining yaqinlashishi.
   
8. 
   Nyuton metodining yaqinlashishi.
   

Kirish. Haqiqiy о‘zgaruvchili uzluksiz funksiya berilgan bо‘lsin.
(1)
tenglamaning ildizlari yoki funksiyaning nollarini topish talab qilingan bо‘lsin. Algebraik kо‘pxadlar holida tenglamaning, ildizlari kompleks bо‘lishini bilamiz. Shuning uchun masalani yana ham aniqroq qо‘yish lozim. (1)-tenglamaning kompleks tekislikning biror-bir sohasidagi ildizlarini toping degan masala qо‘yish, yana ham aniqrok bо‘ladi. Masalani yechish ikki bosqichdan iboratdir. Birinchi bosqichda ildizlarning joylashish sohasi aniqlanadi va ularni ajratishadi, ya’ni har birida birta ildizni о‘z ichida saqlovchi sohalar aniqlanadi.Bundan tashqari yana karrali ildizlar va ularning karrali soni aniqlanadi. Shuning bilan birga ildizlarga biror-bir boshlag‘ich yaqinlashish topiladi. Ikkinchi bosqichda bolang‘ich berilganlardan foydalanib qidirilayotgan ildizni aniqlashtiruvchi iteratsion jarayon quriladi.
Ixtiyoriy tenglamaning ildizlari joylashgan sohani aniqlaydigan biror - bir yaxshi metod yо‘q.
Algebraik tenglamalar ildizlarining joylashishini aniqlovchi usullar ancha yaxshi о‘rganilgan va bu metodlarning bir qanchasi algebra kursidan sizga ma’lum.
Chiziqsiz tenglamalarni yechish metodlari asosan iteratsion bо‘lib, ular qidirilayotgan yechimga (ildizga) yetarlicha yaqin bо‘lgan boshlang‘ich berilganning ma’lumligini (berilishini) talab qiladilar.
Iteratsion metodlarni о‘rganishga о‘tishdan oldin (1)-tenglama ildizlarini ajratishning ikkita sodda metodi bilan tanishamiz.
Birinchi metod: funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari topiladi. Agar ning biror-bir qiymatida bо‘lsa, unda tenglamaning intervalda tenglamaning eng kamida birta ildizi mavjudligi ma’lum bо‘ladi. Undan sо‘ng bu oraliq yana ham kichikroq bо‘laklarga ajratilib ildizlarning joylashishlari aniqlashtiriladi.
Haqiqiy ildizlarni ajratishning ancha sodda usullaridan biri biseksiya metodidir. Faraz qilamiz oraliqda birta ildiz joylashgan bо‘lsin. bо‘lsin. deb, ni hisoblaymiz. Agar f(x₀)<0 bо‘lsa, ildiz , oraliqda agar bо‘lsa ildiz da joylashgan bо‘ladi. Bundan sо‘ng ikki intervaldan chegaralarida turli ishorali qiymatlarni qabul qiladigan intervalni qaraymiz. Bu interval о‘rtasi ni topamiz. ni hisoblab yuqoridagi jarayonni takrorlaymiz. Natijada о‘zlarida ildizni saqlovchi, uzunliklari har gal ikki barobar qisqaradigan intervallarni hosil qilamiz. Jarayon intervalning uzunligi dan kichik bо‘lgandan sо‘ng tо‘xtatiladi va ildizning taqribiy qiymati qilib shu oxirgi intervalning о‘rtasi olinadi. Agar intervalda bir qancha ildiz bо‘lsa, ularning qaysisiga yaqinlashishini bilmaymiz.
Agar ildiz - karrali bо‘lsa va topilgan bо‘lsa unda boshqa ildizni topish

funksiya uchun qaytariladi.