7 – Ma’ruza. Chiziqsiz tenglamalarni yechish

7)Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishi.
(1)
tenglamani ekvivalent
(2)
kо‘rinishda yozamiz va x₀ dastlabki yaqinlashishni tanlab olib
(3)
oddiy iteratsiyani qaraymiz. (3)-iteratsiya yaqinlashadi deb aytiladi, agar ketma-ketlik , limitga ega bо‘lsa. uyidagi teoremada (2)-tenglamaning yechimi mavjudligi va yagonaligiga kafolat beruvchi shartlar bayon qilinadi.
Agar tо‘plamning ixtiyoriy nuqtalari uchun
(4)
tengsizlik bajarilsa funksiya tо‘plamda Lipshits shartini qanoatlantiruvchi deb aytiladi (yoki lipshits uzluksiz) kelajakda lar tо‘plami sifatida
(5)
markazi da bо‘lgan uzunligi ga teng kesma qaraladi.


Teorema. Agar kesmada о‘zgarmasli lipshits uzluksiz bо‘lib,
(6)
bajarilsa, unda (2)- tenglama da yagona yechimga ega bо‘lib, (3)-iteratsion ketma-ketlik ixtiyoriy uchun ga yaqinlashadi.
Xatolik uchun
(7)
(tengsizlik) baho о‘rinli bо‘ladi.
Isbot. Eng avval ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilamiz bо‘lsin, x_j+1U_r(a) ekanligini isbot qilamiz.

tenglikdan

ekanligi ma’lum bо‘ladi.
Bundan lipshits - uzluksizlikni, induksiya farazini va (6) ni inobatga olib

ya’ni ekanligini hosil qilamiz.
Endi ikki qо‘shni va yaqinlashishlar orasidagi farqni baholaymiz.

va barcha lar dan bо‘lganligi uchun

yoki
(8)
tengsizlik hosil bо‘ladi.
(8)-baho ketma-ketlikni fundamental ekanligini kо‘rsatishga imkon beradi. Haqiqatdan ham ixtiyeriy natural son bо‘lsin.
Unda

(8)-ga asosan

ya’ni
(9)
bu tengsizlikdan , о‘ng tomoni nolga intiladigan bо‘lganligi uchun va ga bog‘liq bо‘lmaganligi uchun ning fundamentalligi kelib chiqadi.
Demak

(3) da limitga о‘tib va funksiyaning uzluksizligini hisobga olib

ekanligiga, ya’ni ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faraz qilamiz (2) ning ga tegishli boshqa biror bir ildizi bо‘lsin. Unda

va teoremaning shartiga kо‘ra
.
Bunda bо‘lganligi uchun, oxirgi tengsizlik bо‘lgandagina bajariladi, ya’ni yechim birdan-bir ekanligi kelib chiqadi.
(7)-tengsizlikni isbot qilamiz. (3)-munosabatdan


bо‘lganligi uchun

hosil bо‘ladi. Bu tengsizlik barcha uchun bajariladi.
Shuning uchun

1-Izoh. Agar biror bir iteratsion metod uchun bajarilsa, bunda qM₁ ga bog‘liqmas bо‘lsa, unda iteratsion metod chiziqli maxrajli geometrik progressiya tezligida yaqinlashadi deb aytiladi.
2-Izoh. (9) - da ni tanlab olib ni cheksizga intiltiramiz,
unda

hosil bо‘ladi. Bu tengsizlikning о‘ng tomonida va yaqinlashishlar turadi, ma’lum son. Shu sababli bu tengsizlikdan iteratsiya jarayonini tо‘xtatish uchun foydalanish qulaydir.
1-Natija: Agar barcha uchun
(12)
bajarilib, (6)-shart о‘rinli bо‘lsa va bо‘lsa, (2)-tenglama birdan bir yechimga ega, (3)-metod yaqinlashadi va (7)-baho о‘rinlidir.
_Haqiqatdan ham, (12)-dan

2-Natija. Faraz qilamiz (2)-tenglama yechimga ega bо‘lsin, funksiya
(13)
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi va bо‘lsin. Unda shunday > 0 mavjudki kesmada (2)-tenglama boshqa ildizga ega bо‘lmaydi va faqat bо‘lganda (3)- metod yaqinlashadi.