7 – Ma’ruza. Chiziqsiz tenglamalarni yechish

2)Oddiy iteratsiya metodi.
Bu metod (1)- tenglamani ekvivalent bо‘lgan
(2)
tenglamaga almashtirilib iteratsiyalar
(3)
qoida bilan tashkil qilinadilar. Bunda boshlang‘ich yaqinlashish beriladi. Iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun funksiya katta rol о‘ynaydi. Bu funksiyani turli usullar bilan aniqlash mumkin.
Odatda bu funksiya
(4)
kо‘rinishda aniqlanadi, bunda ildiz qidirilayotgan sohada о‘z ishorasini о‘zgartirmaydigan funksiY. Bu metodning bо‘lganda yaqinlashishni keyinroq kо‘rsatamiz. Xususiy holda (x)==const bо‘lganda
(5)
relaksatsiya metodi deb aytiladi.
Optimal parametrni tanlash uchun relaksatsiya tenglamasida

almashtnrish bajarib

xatolik tenglamasini hosil qilamiz.
О‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan

tenglikka ega bо‘lamiz. Bu yerda . Shunday qilib relaksatsiya metodining xatoligi uchun

tenglikka ega bо‘lamiz.
Bundan

tengsizlik hosil bо‘ladi.
Agar ildizning biror bir atrofida
(6)
munosabatlar bajarilsa

tengsizlikka ega bо‘lamiz.
Shunday qilib optimal parametrni aniqlash

funksiyaning bо‘yicha minimumini topishga olib kelindi. funksiyaning grafigidan uning minimumi

shartdan aniqlanishi lozim ekanligi kelib chiqadi va

bо‘ladi. ning bu qiymatida

Shu sababli xatolik uchun

baho о‘rinlidir.


3)Nyuton metodi. Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish ma’lum bо‘lsin. funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.

va keyingi yaqinlashish sifatida tenglama ildizini olamiz, ya’ni

qilib olamiz.
_Umuman, agar yaqinlashish ma’lum bо‘lsa, Nyuton metodi bо‘yicha _{yaqinlashishi}
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi, chunki nuqta funksiya grafigining nuqtasida о‘tkazilgan urinmaning abssissa о‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu metodning yaqinlashishi keyinroq kо‘rsatiladi. Hozir bu metodning о‘ziga xos xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga proporsional:
.
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich yaqinlashishning ildizga yetarlicha yaqin bо‘lgandagina kafolat bersa bо‘ladi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bо‘lsa, metod yo sekin yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.