7-Maruza. Boltsman taqsimoti. Molekulalarning tezlik komponentalari boʹyicha taqsimoti. Molekulalarning issiqlik harakatlari tezliklari boʹyicha taqsimoti. Maksvell taqsimotini tajribada tekshirish. Maksvell-Boltsman taq’simoti

MOLEKULALARNING ISSIQLIK HARAKATLARI TEZLIKLARI BO‘YICHA TAQSIMOTI (MAKSVELL TAQSIMOTI)

Tezliklar bo‘yicha molekulalarning taqsimotini keltirib chiqarish uchun quyidagi misoldan foydalanamiz: molekulalar tezliklarini Dekart koordinatalar sistemasi markazidan boshlanuvchi υx , υy , υz vektorlar bilan tasvirlaymiz (37- rasm). Bu sistemada tezlik vektorining kattaligi va yo‘nalishi vector tugaydigan nuqtaning holati bilan aniqlanadi.Tezlik moduli , yoki (1) υx , υy , υz koordinatalar sistemasi bilan tezliklar fazosi deb ataluvchi dυx^. dυy ^. dυz ga teng bo‘lgan hajm elementi ajratiladi.

37- rasm

ko‘rinishidagi uchta funksiya ko‘paytmasi
f(υ_x)^. f(υ_y)^.f(υ_z)
molekulaning tezliklar fazosi hajmiga tushish ehtimolligini aniqlaydi:
(2)
Bu funksiya faqat tezlik moduliga bog‘liqligidan, uning o‘ng tomonini aniqlash uchun quyidagicha ish tutamiz: koordinata boshi atrofida tezliklar fazosida radiuslari υ va υQdυ bo‘lgan ikkita sfera ajratamiz. Ko‘rsatilgan sferalar orasidagi shar qatlam hajmi 4πυ²dυ ga teng. Ajratilgan shar qatlamda ma’lum sonli molekulalar tezlik vektorlari tugaydi. Bu sonni dN bilan belgilab, (2) kabi tezliklar fazosining birlik hajmiga molekulalarni tushishi ehtimolligini aniqlaydigan nisbatni kiritamiz. (2) ning o‘ng tomonini hosil qilingan nisbatga tenglab va (1) ni hisobga olgan holda,
(3)
ekanligini topamiz.
(3) tenglamani birinchi bo‘lib Maksvell keltirib chiqargan va u gazsimon va suyuq holatdagi moddalar molekulyar nazariyasida fundamental qiymatga egadir. (3) funksiya molekulaning birlik tezlik intervali (υ dan υ+1 gacha) da bo‘lish ehtimolligini aniqlaydi.

38-rasm

39-rasm

3) funksiya grafigi 38-rasmda ko‘rsatilgan. (2) tenglama tezlik vektorlari uchlarining X o‘qidagi proyeksiyalarining taqsimlanishini ifodalaydi, (3) tenglama esa tezlik vektorlarining, ularning boshi bir nuqtaga keltirilganida va ularning hammasi υ o‘qda musbat yo‘nalishga aylantirilganda, chekka nuqtalari proyeksiyalarining taqsimotini ifodalaydi. Kutilganidek, (3) funksiya υ →0 va υ →∞ da nolga intiladi, yani tinchlangan molekulalarni yoki juda katta tezlik bilan harakatlanuvchi molekulalarni topish ehtimolligi nolga yaqinlashadi. 38- grafikdan taqsimot funksiyasining maksimumiga to‘gri keladigan shunday tezlik mavjudligi ko‘rinib turibdi. Bu tezlik eng katta ehtimollik tezlik deyilib, C_e bilan belgilanadi. (3) funksiyani ekstremumga tekshirib
(4)
ekanligini topamiz. (4) ni hisobga olgan holda (3) ni boshqacha ko‘rinishda yozamiz:
(5)
Maksvell taqsimoti egri chizig‘idan (38-rasm) foydalanib, grafik tarzda tezliklari berilgan υ dan υ + dυ gacha intervalda yotuvchi molekulalarning nisbiy soni dN/N=f(υ)dυ ni aniqlash mumkin. Bu rasmda asoslari bir xil, lekin tezliklar o‘qining turli yerlarida olingan ikkita shunday interval tasvirlangan (ulardan biri eng katta ehtimolli tezlikni o‘z ichiga oladi). Shtrixlangan maydonlarni taqqoslash shuni ko‘rsatadiki, agar interval o‘z ichiga eng katta ehtimolli tezlikni olgan bo‘lsa, bunday intervalda molekulalarni topish ehtimolligi maksimaldir.
Eng katta ehtimolli tezlik – bu molekulalarning ko‘p ulushi ega bo‘lgan tezlik degan ta’rif albatta noto‘g‘ridir. Haqiqatda, dN/N=f(υ)dυ bo‘lib, dυ→0 da doimo dN/N →0 bo‘ladi. Shunday qilib, aniq berilgan tezlikli molekulalarni topish ehtimolligi nolga tengdir. (3) ga muvofiq,
(6)
(6) integral grafik tarzda Maksvellning taqsimot funksiyasi (3) bilan chegaralangan maydon orqali ifodalanadi (38-rasm). Mos holda tezligi 0 dan ∞ gacha intervaldagi molekulalarni topish ehtimolligi birga teng. (4) va (6) dan temperatura oshishi bilan Maksvellning taqsimot funksiyasi maksimumi katta tezliklar tomonga siljiydi, maksimumning balandligi esa bunda kamayadi (39-rasm).
(3) taqsimotni bilgan holda molekulalar issiqlik harakati tezliklarining o‘rtacha qiymatini (o‘rtacha arifmetik tezlik) va tezlik kvadratining o‘rtacha qiymatini topish mumkin.
Molekulalar issiqlik harakatining o‘rtacha tezligi :
(7)
ni olish uchun qo‘llanilgan muhokamalarni takrorlab:
(8)
ni hosil qilamiz.
(3) dan dN ni qo‘yib:
(9)
ga ega bo‘lamiz.
Integral bo‘lgani uchun bo‘ladi.
O‘rtacha kvadratik tezlik uchun (3) dan dN ning qiymatini qo‘yib:

ga kelamiz.
Bu munosabatdagi integral ga teng va shunga muvofiq,
C²=3kT/m (10)
(4), (9) va (10) dan
(11)
kelib chiqadi.
Shunday qilib, C>C_a>C_e. Bunda o‘rtacha kvadratik tezlik o‘rtacha arifmetik tezlikdan 9% ga va eng katta ehtimollik tezlikdan 22% ga kattadir.
Avvalgi paragrafda berilgan yo‘nalishda (X o‘qi bo‘yicha) molekulalar issiqlik harakatlarining o‘rtacha kvadratik va o‘rtacha arifmetik tezliklarining qiymatlari topilgan edi. formulani bilan va formulani formula bilan solishtirib:
a) b) (12)
ga ega bo‘lamiz.
Shuni eslatib o‘tamizki, Maksvell taqsimotidan olingan (12,a) oldin o‘rtacha qiymatlarni aniqlashda olingan edi.
Molekulyar-kinetik nazariyaning juda muhim natijasi temperatura bilan molekulalar ilgarilanma harakati o‘rtacha energiyasi orasida bog‘liqlikni o‘rnatishdir. Shunday (10) dan
(13)
kelib chiqadi.
(13) ga binoan molekulalar ilgarilanma harakati kinetik energiyasining o‘rtacha qiymati termodinamik temperaturadan faqatgina 3/2 k ko‘paytmaga farq qiladi. Shunday qilib, termodinamik temperatura – bu molekulalar ilgarilanma harakati o‘rtacha energiyasiga proporsional kattalikdir.
A va B jismlar bir xil temperaturaga ega ekanligi shuni bildiradiki, A va B jism molekulalarining issiqlik harakatlari o‘rtacha energiyalari bir xil bo‘ladi. A jism B jismdan ko‘proq qizitilgan deganda, A jism molekulasi B jism molekulasiga nisbatan o‘rtacha kattaroq issiqlik harakati energiyasiga egaligi tushuniladi.