7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

1-ta’rif. X=0 dan boshqa barcha X lar uchun XDX<0 o’rinli bo’lsa, XDX manfiy aniqlangan kvadratik forma deyiladi.
2-ta’rif. Agar X’DX≤0 tengsizlik barcha X 0 lar uchun to’g’ri bo’lsa va X 0 mavjud bo’lib, uning uchun XDX=0 tenglik bajarilsa, XDX nomusbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi
Agar-XDX kvadratik forma nomusbat aniqlangan bo’lsa XDX kvadratik forma nomanfiy aniqlangan bo’ladi.
X ning ba’zi qiymatlari uchun XDX musbat, ba’zilari uchun manfiy qiymat qabul qilishi mumkin. U holda XDX aniqmas kvadratik forma deyiladi.
Kvadratik formani chiziqli almashtirishlar yordami bilan faqat noma’lumlarning kvadratlaridan tuzilgan formaga keltirish mumkin. Bunday ko’rinishdagi kvadratik forma kanonik ko’rinishdagi kvadratik forma deb ataladi.
(7)ni kanonik ko’rinishga keltirib, uning qanday aniqlangan ekanligini, shu bilan bir qatorda uning pastga yoki yuqoriga qavariq ekanligini aniqlash mumkin.
Haqiqatdan ham, agar kvadratik forma

ko’rinishga keltirilgan bo’lib, bo’lsa, kvadratik forma musbat aniqlangan, da esa manfiy aniqlangan bo’ladi.

Agar va bo’lsa, kvadratik formaning ishorasi aniqlanmagan bo’ladi.
1-misol. Berilgan
kvadratik forma kanonik ko’rinishga keltirilsin.
Yechish:
Berilgan kvadratik formaga mos keluvchi D matritsa

ko’rinishda bo’ladi. formadagi qatnashgan hadlarni ajratib yozamiz:

.
Qavs ichidagi ifodani to’la kvadratga keltiramiz:

yoki
.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

.
Bulardan

(8)
.
U holda kvadratik forma quyidagi ko’rinishga keladi:

bu yerda

.
Endi formani o’zgartiramiz:
yana qaytadan belgilashlar kiritamiz
.
Bulardan
.
(9)
.
Natijada quyidagiga ega bo’lamiz
,
u holda
.
noma’lumlarning qiymatlarini lar orqali ifodalash mumkin. Buning uchun (8) va (9) almashtirishlarga mos keluvchi matritsani o’zaro ko’paytirish kerak, ya’ni agar (8) almashtirishga

matritsa, (9) almashtirishga

matritsa mos kelsa u holda

bo’ladi. Demak,

.
Endi D₁= DC matritsani aniqlaymiz:

.
D₁ matritsa Q( ) kvadratik formaga mos keladi


Q( )
Agar S matritsa xosmas matritsa bo’lsa, musbat (manfiy) aniqlangan forma musbat (manfiy) aniqlanganicha qoladi. formada koeffitsientlar manfiy va S xosmas matritsa bo’lganligi sababli manfiy aniqlangan forma bo’ladi.

Endi kvadratik formani kanonik formaga keltirmasdan uning qanday aniqlangan forma ekanligini aniqlash mumkinmi?- degan savol tug’iladi. Bu savolga javob berish uchun quyidagi teoremalarni isbot qilamiz.

1-teorema. Agar
kvadratik formadagi.
(10)
determinantlar noldan farqli bo’lsa, ni quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
,
bu yerda