A zərbaycan Dövlət Pedoqoji Universiteti Sərbəst iş baki 2022

Tərif 8. ardıcıllığının elementlərinin qiymətlərindən düzəldilmiş çoxluğun yuxarı(aşağı) sərhəddi verilmiş ardıcıllığın yuxarı(aşağı) sərhəddi adlanır və aşağıdakı kimi işarə olunur:
və ya (uyğun olaraq və ya ).
Əgər yuxarı(aşağı) sərhəd ədəddirsə, onda bu tərifi aşağıdakı kimi qeyd edək:
Əgər
1) istənilən n üçün (uyğun olaraq ) olsun
və
2) istənilən üçün, elə ədədi tapmaq olarsa ki, (uyğun olaraq ) doğru olsun, onda a ədədi ardıcıllığının yuxarı(aşağı) sərhəddi adlanır.
Analoji yolla ardıcıllığın yuxarı(aşağı) sərhəddinin sonsuzluq simvolları olan halları üçün də bu tərifi vermək olar: Əgər
Nümunə üçün göstərək ki, .
Tərif 9. Əgər , n=1, 2, ... ardıcıllığı istənilən n üçün (uyğun olaraq ) şərtini ödəyərsə, onda bu ardıcıllıq monoton artan(monoton azalan) ardıcıllıq adlanır.
Monoton artan və monoton azalan ardıcıllıq sadəcə olaraq monoton ardıcıllıq adlanır.
Məsələn, ardıcıllığı monoton artandır, ardıcıllığı monoton azalandır, ardıcıllığı isə monoton deyil.
Teorem 3. İstənilən yuxarıdan(aşağıdan) məhdud monoton artan(monoton azalan) ardıcıllığının limiti var:
(uyğun olaraq ).
İ s b a t ı. 1) Tutaq ki, ardıcıllığı monoton artan və yuxarıdan məhduddur. Sonuncu hökmə görə onun sonlu yuxarı sərhəddi var: . Onda göstərək ki, .
ε>0 qeyd edək. şərtindən alırıq ki, istənilən n=1,2,... üçün və elə nömrəsi var ki, . Onda verilmiş ardıcıllığın monotonluğu şərtindən alarıq ki, istənilən nömrələri üçün . Ona görə də, istənilən n üçün olar, bu da elə deməkdir.
2) Bu hissənin isbatı bundan əvvəlki hissənin isbatına analojidir: İndi tutaq ki, ardıcıllığı monoton azalan və aşağıdan məhduddur. Onda . Göstərək ki, .
ε>0. şərtindən alırıq ki, istənilən n üçün və elə nömrəsi var ki, . Onda monotonluqdan alarıq ki, istənilən nömrələri üçün . Buradan da alarıq ki, . Beləliklə teorem tamamilə isbat olundu.
Biz gördük ki, əgər ardıcıllıq yığılırsa, o, məhduddur(teorem 2), belə ki, əgər monoton artan ardıcıllıq yığılırsa, o, yuxarıdan məhduddur, digər tərəfdən, əgər monoton artan ardıcıllıq yuxarıdan məhduddursa, onda o,yığılır(teorem 3). Onda aşağıdakı hükmlər doğrudur.
Nəticə. Monoton artan ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt verilmiş ardıcıllığın yuxarıdan məhdud olmasıdır.
Analoji hökm monoton azalan ardıcıllıqlar üçün də doğrudur.
Qeyd. Əgər uzunluğu sıfıra yaxınlaşan bir-birinə daxil olan parçalar sistemi, ξ isə verilmiş sistemin bütün parçalarına daxil olan nöqtədirsə, onda
.
Misal. e ədədi.
Tutaq ki, Göstərək ki, bu ardıcıllıq yığılandır.
Nyuton binomuna görə mötərizələri açsaq onda alarıq:



(1)
n-dən n+1-ə keçdikdə toplananlarının bütün müsbət ədədləri artır və bundan əlavə hər bir toplanan çoxalır:

onda

daha sonra qeyd edək ki, (1) bərabərliyində hər bir şəkilli mötərizələr vahiddən kiçikdir və istənilən n=1,2,... üçün olduğundan, alarıq ki,

Həndəsi silsilənin tərifinə görə ardıcıllığının istənilən n natural ədədi üçün cəmini tapmaq olar və o, 3-ə bərabərdir. Ona görə də alarıq:
. (2)
Onda ardıcıllığı monoton artır, yuxarıdan məhduddur və deməli, teorem 3-ə görə limitə malikdir. Bu limit e hərfi ilə işarə olunur. (1) və (2)-dən alarıq ki,
.
Bu ədədi daha da dəqiqləşdirsək, e=2,7182... alarıq. e ədədi riyazi analizdə əsas rollardan birini oynayır. O natural loqarifmin də əsasını təşkil edir.

Ədəbiyyatların siyahısı

1. 
   Л. Д. Кудрявцев. Математический анализ. Москва. Наука.
   
2. 
   С. М. Никольский. Курс математического анализа. Москва. Наука.
   
3. 
   Г. М. Фихтенгольц. Курс диференциального и интегральново исчисления. Москва. Наука.
   
4. 
   Словарь иностранных слов. Под редакцией И.В.Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. Москва.