1-masala:n- hadining formulasi bilan berilgan geometric progressiya cheksiz kamayuvchi bo`lishini isbotlang.
Shartga ko`ra bundan bo`lgani uchun berilgan geometric progressiya cheksiz kamayuvchi bo`ladi.
Rasmda tomoni 1 bo`lgan kvadrat tasvirlangan. Uning yarmini shtrixlaymiz. So`ngra qolgan qismining yarmini shtrixlaymiz va hokazo. Shtrixlangan to`g`ri to`rtburchaklarning yuzlari quyidagi cheksiz kamayuvchi geometric progressiyani tashkil qiladi:
Agar shunday yo`l bilan hosil qilingan barcha to`g`ri to`rtburchaklarni shtrixlab chiqsak, u holda butun kvadrat shtrix bilan qoplanadi. Hamma shtrixlangan to`g`ri to`rtburchaklar yuzlarining yig`indisini 1 ga teng deb hisoblash tabiiydir, ya’ni :
Bu tenglikning chap qismida cheksiz sondagi qo`shiluvchilar yig`indisi turibdi.
Dastlabki n ta qo`shiluvchining yig`indisini qaraymiz:
Agar n cheksiz o`sib borsa, u holda nolga istagancha yaqinlasha boradi (nolga intiladi).
Bunday hol quyidagicha yoziladi:
(o`qilishi: n cheksizlikka intilganda nolga intoladi) yoki
(o`qilishi: n cheksizlikka intilganda ketma-ketlikning limiti nolga teng).
Umuman, biror ketma-ketlik uchun da bo`lsa, u holda ketma-ketlik songa intiladi ( ketma-ketlikning dagi limiti ga teng) deyiladi va bu lim kabi yoziladi.
da bo`lgani uchun da ya`ni da . Shuning uchun
cheksiz yig`indi 1 ga teng deb hisoblanadi.
Endi ixtiyoriy cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani qaraymiz:
… bunda
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisi deb da uning dastlabki n ta hadi yig`indisi intiladigan songa aytiladi. formuladan foydalanamiz. Uni bunday yozamiz:
Agar n cheksiz o`ssa, bo`lgani uchun Shuning uchun ham da nolga intiladi.
formulada birinchi qo`shiluvchi ga bog`liq emas. Demak, da yig`indi
songa intiladi.
Shunday qilib, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning S yig`indisi quyidagiga teng:
