Algebra va analiz asoslari

14
15
12.
Quyidagi funksiyalardan qaysi biri 
x
→
3 da limitga ega? Shu limitni 
toping.

---

16
17
5–6
HOSILA, UNING GEOMETRIK 
VA FIZIK MA’NOSI
12-rasmda egri chiziq, kesuvchi va urinma tasvirlangan. 
12-rasm. 13-rasm.
B
nuqta 
B
1
, 
B
2
, ... holatlarni ketma-ket qabul qilib, 
A
nuqtaga 
egri
chiziq
bo‘ylab
yaqinlashsa (13-rasm), mos kesuvchilarning egri chiziqqa
A
nuqtada o‘tkazilgan urinma holatini olishga intilishini 
intuitiv tarzda
qabul qilamiz.
Bu holda, ravshanki, 
AB
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti 
urinmaning burchak koeffitsiyentiga yaqinlashadi.
1-misol. 
f
(
x
) 
= x
2
funksiyaning grafigiga 
A
(1; 1) nuqtada urinadigan 
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentini toping (14-rasm).
14-rasm. 15-rasm.
B
(
x; x
2
)

---

16
17

 f
(
x
) 
= x
2 
funksiyaning grafigiga tegishli ixtiyoriy 
B
(
x, x
2
) nuqtani 
qaraylik (15-rasm).
AB
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti 
( )
(1)
1
f x
f
x
−
−
yoki 
2
1
1
x
x
−
−
ga teng. 
B
nuqta 
A
nuqtaga egri chiziq bo‘ylab yaqinlashganda, 
x
ning qiymati
1 ga yaqinlashadi, bunda 
x 
≠ 1. 
Demak, 
AB
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti urinmaning
burchak koeffitsiyenti 
k
ga yaqinlashadi, ya’ni:
2
1
1
1
(
1)(
1)
1
lim
lim
lim (
1) 2
1
1
x
x
x
x
x
x
k
x
x
x
→
→
→
+
−
−
=
=
=
+ =
−
−
. 
Shunday qilib, 
k 
= 2.
▲
y = f
(
x
) funksiya berilgan bo‘lsin. Uning grafigiga tegishli bo‘lgan
A
(
x
; 
f
(
x
)) va 
B
(
x+h
;
 f 
(
x+h
)) nuqtalarni qaraylik (16-rasm). 
AB
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti 
(
)
( )
(
)
( )
f x h
f x
f x h
f x
x h x
h
+
−
+
−
=
+ −
ayirmali nisbatga teng. 
B
nuqta 
A
nuqtaga egri chiziq bo‘ylab yaqinlashganda 
h
→
0, ya’ni
 h
orttirma nolga intiladi, 
AB
kesuvchi esa funksiya grafigiga 
A
nuqtada 
o‘tkazilgan urinmaga intiladi. 
Shu bilan birga, 
AB
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti urinmaning 
burchak koeffitsiyentiga yaqinlashadi.
Boshqacha aytganda, 
h
ning qiymati 0 ga intilganda ixtiyoriy (
x
;
 f
(
x
)) 
nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti 
(
)
( )
f x h
f x
h
+
−
ayirmali nisbatning limit qiymatiga, ya’ni 
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
→
+
−
qiymatga teng 
bo‘ladi. 

---

18
19
16-rasm. 17-rasm.
x
ning mazkur limit mavjud bo‘lgan ixtiyoriy qiymatiga funksiya 
grafigiga (
x, f 
(
x
)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentining 
yagona qiymatini mos qo‘yish mumkin (17-rasm).
Demak, 
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
→
+
−
formula yangi funksiyani ifodalaydi.
Mana shu funksiya 
y=f
(
x
) funksiyaning 
hosilaviy
funksiyasi
, yoki
sodda qilib 
hosilasi
deb ataladi.
Ta’rif. 
y=f 
(
x
) funksiyaning 
hosilasi 
deb quyidagi limitga (agar u 
mavjud bo‘lsa) aytiladi:
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
→
+
−
. (1)
Odatda 
y=f 
(
x
) funksiyaning hosilasi 
f 
ʹ(
x
) kabi belgilanadi.
Hosilani topish amali 
differensiallash
deyiladi. 
f 
ʹ(
x
) belgilash o‘rniga 
dy
dx
kabi belgilash ham qabul qilingan. 
Bu belgilashning “kasr” ko‘rinishda ekanligini quyidagicha tushuntirish 
mumkin. 
Agar orttirmalarni 
h
= 
Δ
x
, 
f
(
x
+Δ
x
) – 
f
(
x
)=Δ
y
deb belgilasak,
f
0
(
)
( )
( ) lim
h
f x h
f x
f x
h
→
+
−
′
=
dan quyidagiga ega bo‘lamiz (18- 
rasm): 
f
0
( ) lim
x
y dy
f x
x dx
∆ →
∆
′
=
=
∆
.

---

18
19
18-rasm.
Yuqoridagi mulohazalardan shunday xulosaga kelamiz: 
y 
= 
f
(
x
) funksiya 
hosilasining 
x
0
nuqtadagi qiymati funksiya grafigiga shu nuqtada o‘tkazilgan 
urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng. Hosilaning 
geometrik ma’nosi 
shundan iboratdir.
2-misol.
Moddiy nuqta 
s
=
s
(
t
) (
s
– metrlarda, 
t
– sekundlarda o‘lchanadi) 
qonunga muvofiq to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakat qilmoqda. Shu moddiy 
nuqtaning vaqtning 
t
momentidagi (paytidagi) tezligi 
v
(
t
) ni toping.

 
Ma’lumki, oniy tezlik nuqtaning kichik vaqt oralig‘i 
Δ
t 
dagi o‘rtacha 
tezligi 
v t
s t
t s t
t
( )
(
)
( )
 
ga taqriban teng. 
Δ
t 
nolga intilganda oniy tezlik va 
o‘rtacha tezlik orasidagi farq ham nolga intiladi. Demak, moddiy nuqtaning 
t 
momentdagi oniy tezligi 
v t
s t
t s t
t
s
t
s t
t
t
( ) lim (
)
( ) lim
'( ).
0
0
▲
Shunday qilib, 
t
momentdagi oniy tezlik nuqtaning harakat qonuni
s
(
t
) funksiyadan olingan hosilaga teng ekan. 
Hosilaning 
fizik ma’nosi
ana shundan iborat. Umuman aytganda,
hosila funksiyaning o‘zgarish tezligidir.

---

20
21
Misollar 
Hosila ta’rifidan foydalanib, funksiyalarning hosilasini toping:
1.
f 
(
x
)=
x
2
;
2.
f 
(
x
)=5;
3.
f 
(
x
)=
x
3
–7
x
+5;
4.
f 
(
x
)=
x
4
;
5.
1
( )
f x
x
=
;
6.
( )
f x
x
=
; 
7. 
f x
x
( )
=
3
.

1. 
h
≠0 bo‘lgani uchun
2
2
0
0
(
)
( )
(
)
'( ) lim
lim
h
h
f x h
f x
x h
x
f x
h
h
→
→
+ −
+
+
=
=
=
2
0
lim
h
x
→
=
2
2
2
xh h
x
+
+
−
0
lim
h
h
h
→
=
(2
)
x h
h
+
0
lim(2
) 2
h
x h
x
→
=
+
=
.
2.
h 
≠ 0 bo‘lgani uchun
f 
(
x+h
)=5,
f 
(
x+h
)– 
f
(
x
)=5 – 5=0,
(
)
( ) 0 0
f x h
f x
h
h
+
−
= =
Demak, 
0
(
)
( )
( ) lim
0
h
f x h
f x
f x
h
→
+
−
′
=
=
.
3. 
h
≠0 bo‘lgani uchun
f 
(
x+h
)=(
x+h
)
3 
– 7 (
x + h
) + 5 = 
x
3 
+ 3
x
2
h 
+ 3
xh
2 
+ 
h
3 
– 7
x 
– 7
h 
+ 5;
f 
(
x+h
) – 
f 
(
x
)=
x
3 
+ 3
x
2
h
+ 3
xh
2
 
+
h
3
– 7
x 
– 7
h 
+ 5 – 
x
3
 
+ 7
x 
– 5 = 
=3
x
2
h
+3
xh
2
+
h
3
– 7
h
.
2
2
3
(
)
( ) 3
3
7
f x h
f x
x h
xh
h
h
h
h
+
−
+
+
−
=
=
3
x
2
+3
xh
+
h
2
– 7.
h
→
0 da 3
xh
+
h
2
→
0 bo‘lgani uchun
2
0
(
)
( )
( ) lim
3
7
h
f x h
f x
f x
x h
h
→
+
−
′
=
=
−
3
x
2
–7.
4.
Qisqa ko‘paytirish formulalariga ko‘ra 
a
4 
– 
b
4
=(
a – b
)(
a + b
)(
a
2 
+ 
b
2
). 
Demak, (
x+h
)
4
– 
x
4
=(
x+h–x
)(
x+h+x
)((
x+h
)
2
+
x
2
)=
=
h
(2
x+h
)(2
x
2
+2
xh+h
2
)=2
hx
(2
x+h
)(
x+h
)+
h
3
(2
x+h
)=
=2
hx
(2
x
2
+
h
(3
x+h
))+
h
3
(2
x+h
); 
h
→
0 bo‘lsa,
2
h
2
x
(3
x+h
) 
→
0 va 
h
3
(2
x+h
) 
→ 
0
bo‘lgani uchun
4
4
3
0
0
(
)
lim
lim(4
2 (3
))
h
h
x h
x
x
hx x h
h
→
→
+
−
=
+
+
+
h
2
(2
x 
+ 
h
))=4
x
3
.
Demak, 
f 
ʹ(
x
)=(
x
4
)ʹ=4
x
3
.
5.
1
( )
f x
x
=
, 
x 
≠ 0 bo‘lsin, 

---

20
21
(
)
1
1
(
)
( )
,
(
)
(
)
x
x h
h
f x h
f x
x h x
x h x
x h x
−
+
+
−
=
− =
= −
+
+
+
(
)
( )
1
.
(
)
f x h
f x
h
x h x
+
−
=
+
–
h
→
0 da 
x+h
→
x
bo‘lgani uchun 
2
1
( )
f x
x
′
= −
bo‘ladi. 
6.
( )
,
0,
0
f x
x x
x h
=
>
+ >
bo‘lsin, 
(
)
( )
f x h
f x
x h
x
h
h
+
−
+ −
=
ayirmali nisbatni tuzamiz va uni soddalashtiramiz: 
(
)(
)
(
)
(
)
( )
x h
x
x h
x
f x h
f x
h
h x h
x
+ −
+ +
+
−
=
=
+ +
(
) (
)
(
)
1
.
x h
x
h
x h
x
h x h
x
h x h
x
+
−
=
=
=
+ +
+ +
+ +
h
→
0 da 
x h
x
+ →
bo‘lgani uchun 
1
( )
2
f x
x
′
=
bo‘ladi. 
7.
Ayirmali nisbatni tuzamiz:
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
(
)
(
)
+ −
+
+
+
+
+
−
+ −
=
=
=
+
+
+
+
x h
x
x h
x h x
x
f x h
f x
x h
x
h
h
h
x h
x h x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
.
(
)
(
)
+ −
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x h x
h
h
x h
x h x
x
h
x h
x h x
x
x h
x h x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
.
(
)
(
)
+ −
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x h x
h
h
x h
x h x
x
h
x h
x h x
x
x h
x h x
x
h→
0
 
da
 
(
)
(
)
3
3
2
2
2
3
3
1
1 .
3
→
+
+
+
+
x
x h
x h x
x

Demak, 
x
x
3
2
3
1
3
.
Javob: