Algebra va analiz asoslari

98 – 106
):
98.
3
3
7 , 1,012.
y
x
x x
=
+
=
3
3
7 , 1,012.
y
x
x x
=
+
=
99.
2
3, 1,97.
y
x
x
x
=
+ +
=
2
3, 1,97.
y
x
x
x
=
+ +
=
100.
y x
x
=
=
3
1 021
,
,
.
y x
x
=
=
3
1 021
,
,
.
101.
y x
x
=
=
4
0 998
,
,
.
y x
x
=
=
4
0 998
,
,
.
102.
2
3
, 1,03.
y
x
x
=
=
2
3
, 1,03.
y
x
x
=
=
103.
6
,
2,01.
y x
x
=
=
6
,
2,01.
y x
x
=
=
104*.
1
sin ,
y
x
x
=
+ +
1
sin ,
0,01.
y
x
x x
=
+ +
=
105*.
3
3
cos ,
y
x
x
=
+
1
sin ,
0,01.
y
x
x x
=
+ +
=
106*.
4
2
sin( / 2), 1,02.
y
x
x
x
=
−
π
=

---

62
63
29–32
HOSILA YORDAMIDA MODELLASHTIRISH
10-sinfda (
79 – 81 
mavzu) bakteriyalar sonining ko‘payish jarayonini 
o‘rgandik. Endi bu hodisaga boshqacha yondashaylik. 
1-masala.
Har bir bakteriya ma’lum vaqtdan (bir necha soat yoki 
minutlardan) so‘ng ikkiga bo‘linadi va bakteriyalar soni ikki karra 
ortadi. Navbatdagi vaqtdan so‘ng mazkur ikkita bakteriya ham ikkiga 
bo‘linadi va populatsiya miqdori (bakteriyalar umumiy soni) yana 
ikki karra ortadi... Bu ko‘payish jarayoni qulay (populatsiya uchun zarur 
resurslar, joy, oziqa, suv, energiya va hokazolar yetarli bo‘lgan) sharoitlarda
davom etaveradi, deylik.
Bakteriyalarning 
ko‘payish tezligi
 
bakteriyalar umumiy soniga 
proporsional deb faraz qilaylik.
Bakteriyalar populatsiyasining soni ixtiyoriy 
t
vaqtga nisbatan qanday 
o‘zgaradi? 

b
(
t
) deb 
t
vaqt oralig‘idagi bakteriyalar populatsiyasining umumiy 
sonini belgilaylik. 
Hosilaning ma’nosiga ko‘ra, bakteriyalar ko‘payish tezligi 
b
′(
t
) ga teng. 
Farazimizga ko‘ra, ixtiyoriy 
t
vaqtda 
b
′(
t
) miqdor 
b
(
t
) miqdorga 
proporsional, ya’ni
b
′(
t
)
=kb
(
t
) (1)
munosabat o‘rinli. Bu yerda 
k
– proporsionallik koeffitsiyenti.
b
0 
= 
b
(0) – boshlang‘ich 
t 
= 0 vaqtdagi populatsiya soni bo‘lsin.
Ravshanki, 
b
(
t
)=
b
0
e
kt
funksiya (1) ni qanoatlantiradi. 
Chindan ham, 
b
′(
t
)=(
b
0
e
kt
)′=
kb
0
e
kt
=
kb
(
t
). 
Dastlab 10 million bakteriya bo‘lsa (
b
0
=10 mln), bunday bakteriyalar 
soni bir soatdan so‘ng 
b
(1)=10
e
k
=20 ( mln) ga teng bo‘ladi, ya’ni 
e
k
=2. Bundan 
k
= l n 2 ga ega bo‘lamiz.
t
vaqt oralig‘idagi bakteriyalar populatsiyasining sonini topaylik:
b
(
t
)
=
10
e
(ln2)
t
=
10·2
t
 
(mln).
Bu natija 10-sinfda olingan natija bilan ustma-ust tushmoqda. 
▲

---

62
63
Tarixiy ma’lumot.
 
18-asrda ingliz olimi Tomas Maltus yuqoridagi 
fikrlarga o‘xshash fikr yuritib, yer
yuzidagi aholi sonining o‘sishi uchun 
N 
′(
t
)=
kN
(
t
) (2)
munosabatni hosil qildi, bu yerda 
N
(
t
) – vaqtning 
t
momentidagi aholi
soni.
N
0
=
N
(
t
0
) – boshlang‘ich 
t
0
vaqtdagi aholi soni bo‘lsin.
Bu holda 
N
(
t
) =
N
0
e
k
(
t – t
0 )
funksiya (2) tenglamani qanoatlantiradi. 
Chindan ham, 
N
′ (
t
) =
 N
0
(
e
k
(
t – t
0 )
) ′ =
k N
0
e
k
(
t – t
0 )
=
k N
(
t
) . 
N
(
t
) =
N
0
e
k
(
t – t
0 )
qonuniyat aholining 
eksponensial o‘sishini
, 
ya’ni 
shiddatli, to‘xtovsiz o‘sish jarayonini ifodalashini inobatga olib, Tomas 
Maltus vaqt o‘tishi bilan insoniyatga oziqa resurslari yetmasligini
«bashorat” qilganligini qayd etamiz (30-rasmga qarang).
30-rasm.
2-masala. 
Ekologiya tirik organizmlarning tashqi muhit bilan o‘zaro 
munosabatini o‘rganadi. Ko‘payish yoki turli sabablarga ko‘ra nobud 
bo‘lish bilan bog‘liq bo‘lgan populatsiyalar sonining o‘zgarish tezligi 
vaqtga qanday bog‘lanishda ekanini o‘rganing. 

N
(
t
) – vaqtning 
t
momentidagi populatsiya soni bo‘lsin, u holda 
agar vaqtning bir birligida populatsiyada tug‘iladigan jonzotlar sonini
A
, nobud bo‘ladiganlari sonini 
B
desak, yetarli asos bilan aytish mumkinki, 
N
ning vaqtga nisbatan o‘zgarish tezligi 
N 
′(
t
) =
A–B
(3)
munosabatni qanoatlantiradi.
Tadqiqotchilar
A
va 
B
ning 
N
ga bog‘liqligini quyidagicha tavsiflaydilar.

---

64
65
a) Eng sodda hol:
A=aN
(
t
), 
B=bN
(
t
). Bu yerda 
a
va 
b
– vaqtning bir 
birligida tug‘ilish va nobud bo‘lish koeffitsiyentlari.
Bu holda (3) munosabatni
N
′(
t
) =(
a–b
)
N
(
t
) (4)
ko‘rinishda yozish mumkin.
N
0
=
N
(
t
0
) – boshlang‘ich 
t
0
vaqtdagi populatsiya soni bo‘lsin.
Bu holda 
N
(
t
)=
N
0
e
(
a–b
)(
t–t
0)
funksiya (4) ni qanoatlantiradi (tekshiring).
b) 
A
=
aN
(
t
),
B
=
bN 
2
(
t
) hol ham uchraydi.
Bunda
N
′(
t
)=
aN
(
t
) – 
bN 
2
(
t
) (5)
munosabat hosil bo‘ladi. 
Tekshirish mumkinki,
( )
(
)
0
0
0
0
/
[ /
]
a t t
N a b
N t
N
a b N e
−
−
=
+
−
 
funksiya (5)
tenglamani qanoatlantiradi. 
▲
(4) munosabatni 1845-yilda belgiyalik demograf-olim Ferxyulst 
populatsiyadagi ichki kurashni hisobga olgan holda kashf qildi. Bu natija 
Maltusning (2) munosabatiga nisbatan populatsiyaning rivojlanishini 
aniqroq tavsiflaydi.
Populatsiyaning o‘sish-kamayishi
a
va 
b
sonlarga qanday bog‘liq bo‘ladi, 
degan savol tug‘ilishi tabiiy. 
31-rasmda 
0
a N
b
>
va 
0
a N
b
<
hollar uchun 
( )
(
)
0
0
0
0
/
[ /
]
a t t
N a b
N t
N
a b N e
−
−
=
+
−
ko‘rinishdagi funksiya grafiklari 
tasvirlangan:
31-rasm.

---

64
65
Ko‘rinib turibdiki, vaqt kechishi bilan populatsiya soni 
a
b
soniga
yaqinlashar ekan. Mazkur holat 
to‘yinish
deb nomlangan hodisani 
bildiradi.
Chizmada tasvirlangan egri chiziq Maltus tomonidan 
logistik egri
chiziq 
deb nomlanib, u inson turmushining turli sohalarida uchrab 
turadi. 
Funksiyaning hosilasini shu funksiya bilan bog‘ lovchi 
y
′(
x
)=
F
(
x
;
 y
) 
ko‘rinishdagi munosabat 
differensial tenglama
de yi la di.
Yuqorida keltirilgan (1) – (5) munosabatlar differensial tenglamalarga 
misollardir. 
Differensial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday funksiya uning 
yechimi deyiladi. Oliy matematikada muayyan shartlarda 
y
′(
x
)=
F
(
x, y
) 
ko‘rinishdagi differensial tenglamaning 
y
(
x
0
)=
y
0
boshlang‘ich shartni 
qanoatlantiradigan yagona 
y
(
x
) yechimi mavjudligi isbot qilingan.
3-masala.
 
Vaqtning 
t
momentida sotilayotgan mahsulot haqida 
xabardor bo‘lgan xaridorlar soni 
x
(
t
) ning vaqtga bog‘liqligini o‘rganing. 
(Bu masala reklama samaradorligini aniqlashda muhim.)

Barcha xaridorlar sonini
 N
deb belgilasak, sotilayotgan mahsulotdan 
bexabarlar soni 
N – x
(
t
) bo‘ladi. 
Mahsulot haqida xabardor bo‘lgan xaridorlar sonining o‘sish te-
zligi 
x
(
t
) ga va 
N–x
(
t
) ga proporsional deb hisoblasak, quyidagi 
differensial tenglamaga ega bo‘lamiz: 
x
′
(
t
)=
kx
(
t
)(
N
–
x
(
t
)), bu yerda 
k 
> 0 – proporsionallik koeffitsiyenti.
Bu tenglamaning yechimi 
( )
1
Nkt
N
x t
Pe
−
=
+
 
dan iborat, bunda 
1
NC
P
e
=
,
C
– o‘zgarmas son.
Ravshanki, har qanday holatda 
t
vaqt kechishi bilan 
Pe
–Nkt
had kichiklashib boraveradi va bundan 
x
(
t
)
1
Nkt
N
x
Pe
−
=
+
ifodaning qiymati 
N
ga 
yaqinlashadi (32-rasmga qarang). 
▲

---

66
67
32-rasm.
4-masala.
Massasi 
m
, issiqlik sig‘imi 
c
o‘zgarmas bo‘lgan jism 
boshlang‘ich momentda 
T
0 
temperaturaga ega bo‘lsin. Havo temperaturasi
o‘zgarmas va 
τ 
(
T > τ
)
 
ga teng. Jismning cheksiz kichik vaqt ichida
bergan issiqligi jism va havo temperaturalari orasidagi farqqa, shuningdek, 
vaqtga proporsional ekanligini e’tiborga olgan holda, jismning 
sovish qonunini toping.

Sovish davomida jism temperaturasi 
T
0
dan
τ
gacha pasayadi. Vaqtning
t
momentida jism temperaturasi
T
(
t
) ga teng bo‘lsin. Cheksiz kichik
vaqt oralig‘ida jism bergan issiqlik miqdori, yuqorida aytilganiga 
ko‘ra, 
Q
'(
t
)= –
k
(
T
–
τ
)
ga teng, bu yerda 
k – 
proporsionallik koeffitsiyenti.
Ikkinchi tomondan, fizikadan ma’lumki, jism 
T
temperaturadan 
τ
temperaturagacha soviganda beradigan issiqlik miqdori 
Q=mc
(
T
(
t
)–
τ
) ga
teng. Hosilani hisoblaymiz:
Q 
′(
t
)=
mcT 
′ (
t
). (6)
Q
′(
t
) uchun topilgan har ikkala ifodani taqqoslab, 
mcT
′(
t
)=–
k
(
T
–
τ
)
differensial tenglamani hosil qilamiz. 
( )
k t
mc
T t
Ce
τ
−
= +
=
( )
k t
mc
T t
Ce
τ
−
= +
funksiya (6) differensial tenglamani qanoatlantiradi (o‘zingiz tekshiring!), 
bu yerda 
C
– ixtiyoriy o‘zgarmas son.

---