Algebra va analiz asoslari

Fizik mazmunli masalalar
3-masala.
Moddiy nuqta
( )
4
3
12
t
s t
t
= −
+
qonuniyat bilan harakatlanmoq-
da (
s
(
t
) metrda
, t 
vaqt esa sekundda o‘lchanadi). Quyidagilarni toping:
1) Eng katta tezlanishga erishiladigan vaqtni (
t
0
);
2) 
t
0 
vaqtdagi oniy tezlikni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni toping.

Moddiy nuqtaning tezligini topamiz: 
( )
( )
'
4
3
3
2
3
12
3
t
t
v t
s t
t
t


=
= −
+
= −
+






′
.
Fizikadan ma’lumki, tezlikdan olingan hosila tezlanishni beradi, ya’ni:
 a
(
t
) = 
v
ʹ (
t
) = – 
t
2 
+ 6
t
.
1) Eng katta tezlanishga ega bo‘ladigan 
t
0 
vaqtni aniqlash uchun
a
(
t
)=
v
ʹ (
t
)= –
t
2
+6
t 
funksiyani maksimumga tekshiramiz. Avval
a
ʹ (
t
) = –2
t 
+ 6 = 0 tenglamani yechamiz, bundan 
t
0
= 3. (0; 3) oraliqda 
a
ʹ (
t
) > 0 va (3;+∞) oraliqda 
a
ʹ(
t
) < 0 bo‘lgani uchun 
t=
3 da 
a
(
t
) eng katta 
qiymatga erishadi.
2)
t
0
 
vaqtdagi oniy tezlikni hisoblaymiz: 
3
2
3
m
(3)
3 3 18
3
s
v
= −
+ ⋅
=
.

---

52
53
3)
 t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘l 
( )
4
3
12
t
s t
t
= −
+
formulaga 
t
0
=
3
 
ni
 
qo‘yib hisoblanadi:
( )
4
3
3
27
81
3
3
27
20,25 m.
12
4
4
s
= −
+
−
=
+
=
=
Javob: 
1) 3 s; 2) 
m
18
s
; 3) 20,25 m.
▲ 
4-masala. 
Moddiy nuqta
( )
3
2
4 50
3
t
s t
t
t
=
− + +
qonuniyat bilan harakat-
lan moqda (s(
t
) masofa metrda
, 
vaqt
t
sekundda o‘lchanadi). Quyidagilarni 
toping:
1) eng kichik tezlikka erishiladigan vaqtni (
t
0
);
2) 
t
0 
vaqtdagi tezlanishni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni.

Moddiy nuqtaning tezligi va tezlanishini topamiz: 
( )
( )
3
2
'
2
4 50
2 4
3
t
v t
s t
t
t
t
t


=
=
− + +
=
− +






′
,
( )
( )
(
)
2
'
2 4
2 2
a t
v t
t
t
t
+
′
=
=
−
= −
.
1) Eng kichik tezlikga erishiladigan
t
0

vaqtni aniqlaymiz:
v
ʹ (
t
) = (
t
2
–2
t 
+ 4)ʹ = 2
t
–2 = 0, bundan
t
0
=1.
(0; 1) oraliqda 
v
' (
t
) < 0 va (1; + 

) oraliqda
v
' (
t
) > 0 bo‘lgani uchun
t
0
=
1 da 
v 
(
t
) eng kichik qiymatga erishadi.
2)
t
0
vaqtdagi tezlanishni hisoblaymiz:
a
(1) = 2∙1–2 = 0 m/s
2
.
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni 
( )
3
2
4 50
3
t
s t
t
t
=
− + +
formulaga 
t
0
=
1 ni qo‘yib hisoblanadi, ya‘ni 
( )
3
2
1
1
1
1
4 1 50 53 m.
3
3
s
=
− + ⋅ +
=
Javob: 
1) 1 s; 2) 0 m/s
2
; 3) 
1
53 m.
3
▲
5-masala. 
Havo shariga
 t 
∈
[0; 8] minut oralig‘ida 
V
(
t
) = 2
t
3
–3
t
2
+10
t
+2 
(m
3
) hajmda havo purkalmoqda. Quyidagilarni toping:
1) boshlang‘ich vaqtdagi havo hajmini;
2) 
t
= 8 minutdagi havo hajmini;

---

52
53
3) 
t 
= 4 minutdagi havo purkash tezligini;

1) boshlang‘ich vaqtdagi havo hajmini topish uchun 
V
(
t
)=2
t
3
– 
–3
t
2
+10
t
+2 m
3
formulaga 
t 
= 0 qo‘yiladi, ya‘ni 
V
(0) 
= 
2
 
m
3
.
2) 
t 
= 8 minut vaqtdagi havo hajmini topish uchun 
V
(
t
)=2
t
3
–3
t
2
+10
t
+2 m
3 
for mulaga 
t 
= 8 qo‘yiladi: 
V
(8) = 2 ∙ 8
3
–3∙8
2
+10 ∙ 8+2 = 1024–192+80+2 = 914 m
3
;
3) havo purkash tezligini topamiz: 
v 
( )
(
)
3
3
2
2
'
m
2
3
10 2
6
6 10
min.
v t
t
t
t
t
t


=
−
+
+
=
− + 




′

.
Demak, 
v
( )
3
2
m
4
6 4
6 4 10 96 24 10 82
min
v


= ⋅
− ⋅ +
=
−
+
=

′





.
Demak,
a
(3)
( )
3
2
m
3 12 3 6 30
min
v


′′
=
⋅ − =






.
Javob: 
1) 2 m
3
; 2) 914 m
3
; 3) 
3
m
82
min
.
 
▲
Iqtisodiy mazmunli masalalar
6-masala. 
Karima ko‘ylak tikish uchun buyurtma oldi. Bir oyda 
x
ta 
ko‘ylak tiksa, 
p
(
x
) = –
x
2 
+100
x
ming so‘m daromad qiladi. Quyidagilarni 
toping:
1) eng katta daromad olish uchun qancha ko‘ylak tikish kerak?
2) eng katta daromad qancha bo‘ladi?

1)
p
(
x
)= – 
x
2
+100
x
funksiyani maksimumga tekshiramiz:
( )
2
'
(
100 )'
2 100 0
p x
x
x
x
= − +
= − +
=
, bundan 
x
0
=
50
.
(0; 50) kesmada 
p
ʹ(
x
) > 0 va (50; +

) oraliqda 
p
ʹ(
x
) < 0 bo‘lgani uchun 
x
0
=
50 bo‘lganda 
funksiya eng katta qiymatga ega bo‘ladi. Demak, eng katta daromad olish 
uchun 50 ta ko‘ylak tikish kerak ekan.
2) Eng katta daromad qanchaligini topish uchun 
p
(
x
) = –
x
2
+100
x
ifodaga 
x
0
=
50 ni qo‘yamiz:
p
(50)= –50
2
+100·50=–2500+5000=2500(ming so‘m)=2500000 so‘m
.
Javob:
1) 50 ta ko‘ylak;
2) 2 500 000 so‘m
. 
▲

---

54
55
?
Savol va topshiriqlar
Hosilani tatbiq qilib yechiladigan:
1) geometrik; 2) fizik; 3) iqtisodiy mazmunli masalaga misol keltiring.
Mashqlar
76.
To‘g‘ri to‘rtburcha
k shaklidagi yer maydonining atrofini o‘rash-
moqchi. 300 m
 
panjara yordamida eng ko‘pi bilan necha kvadrat metr
yer maydonini o‘rash mumkin?
77.
To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer maydonining atrofini o‘rash moqchi. 
480 m panjara
 
yordamida eng ko‘pi bilan necha kvadrat metr yer
maydonini o‘rash mumkin?
78*.
Tomoni 120 cm bo‘lgan kvadrat shaklidagi kartondan usti ochiq 
quti tayyorlandi. Bunda kartonning uchlaridan bir xil kvadratchalar 
kesib olindi. Qutining hajmi eng katta bo‘lishi uchun kesib olingan 
kvadratchaning tomoni necha santimetr bo‘lishi kerak?
79*.
Konserva banka silindr shaklida bo‘lib, uning to‘la sirti 216 π cm
2
ga 
teng. Bankaga eng ko‘p suv sig‘ishi (ketishi) uchun banka asosining 
radiusi va balandligi qanday bo‘lishi kerak?
80. 
To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi maydonning yuzi 6400 m
2
. Maydonning 
tomonlari qanday bo‘lganda uni o‘rash uchun eng kam panjara zarur 
bo‘ladi?
81*.
 
Radiusi 5m bo‘lgan sharga eng kichik hajmli konus tashqi chizilgan. 
Konusning balandligini toping.
82*.
Metalldan sig‘imi 13,5 
l
, asosi kvadratdan iborat bo‘lgan to‘g‘ri 
bur chakli parallelepiped yasalmoqda. Idishning o‘lchamlari qanday 
bo‘lganda uni yasash uchun eng kam metall ketadi?
83.
Moddiy nuqta
( )
4
3
5
4
t
s t
t
= −
+
qonuniyat bilan harakatlanmoqda (
s
(
t
) 
metrda
, 
vaqt
t
sekundda o‘lchanadi). Quyidagilarni toping:
1) eng katta tezlanishga erishiladigan 
t
0
vaqtni;
2) 
t
0 
vaqtdagi oniy tezlikni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni.
84. 
Moddiy nuqta
( )
4
3
12
2
t
s t
t
= −
+
qonuniyat bilan harakatlanmoqda (
s
(
t
) m 

---

54
55
da
,
vaqt
t
sekundda o‘lchanadi). 
1) eng katta tezlanishga erishiladigan 
t
0 
vaqtni;
2) 
t
0 
vaqtdagi oniy tezlikni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni toping.
85.
Moddiy nuqta
( )
3
2
2
40 50
9
t
s t
t
t
=
−
+
+
qonuniyat bilan harakatlan - 
moqda (
s
(
t
) metrda,
 
vaqt
t
sekundda o‘lchanadi). 
1) eng kichik tezlikka erishiladigan 
t
0 
vaqtni;
2) 
t
0 
vaqtdagi tezlanishni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni toping.
86.
Moddiy nuqta
( )
3
2
3
8 5
2
t
s t
t
t
=
−
+ +
qonuniyat bilan harakatlanmoqda 
(
s
(
t
) metrda
, 
vaqt
t
sekundda o‘lchanadi). Quyidagilarni toping:
1) eng kichik tezlikka erishiladigan 
t
0 
vaqtni;
2) 
t
0 
vaqtdagi tezlanishni;
3) 
t
0
vaqt ichida bosib o‘tilgan yo‘lni.
87.
Havo shariga
t 
∈
[0; 10]
minut oralig‘ida 
V
(
t
)=5
t
3
+3
t
2
+2
t
+4 (m
3
)
havo purkalmoqda. 
1) boshlang‘ich vaqtdagi havo hajmini;
2) 
t
=10 minutdagi havo hajmini;
3) 
t
=5 minutdagi havo purkash tezligini toping;
88.
Havo shariga 
t 
∈
[0; 15]
minut oralig‘da 
V
(
t
)=
t
3
+13
t
2
+
t
+20 (m
3
) 
havo purkalmoqda.
1) boshlang‘ich vaqtdagi havo hajmini;
2) 
t
=15 minutdagi havo hajmini;
3)
 t
=10 minutdagi havo purkash tezligini toping;
89.
Muslima shim tikish uchun buyurtma oldi. U bir oyda 
x
ta shim
tiksa, 
p
(
x
)=–2
x
2
+120
x
ming so‘m daromad qiladi. Quyidagilarni toping:
1) daromadni eng katta qilish uchun qancha shim tikishi kerak?
2) eng katta daromad qancha bo‘ladi?
90.
Muxlisa yubka tikish uchun buyurtma oldi. Bir oyda 
x
ta yubka
tiksa, 
p
(
x
) = –3
x
2
+96
x
(ming so‘m) daromad qiladi. Quyidagilarni toping:
1) daromadni eng katta qilish uchun qancha yubka tikish kerak?
2) eng katta daromad qancha bo‘ladi?

---