Algebra va sonlar nazariyasi fanidan

I gruppa aksiomalari

I.1. .

I.2. .

II gruppa aksiomalari

II.1. ,

II.2. ,

II.3. .

II gruppa aksiomalari

III.1. ,

III.2. ,

III.3. .

IV gruppa aksiomalari

IV.1. ,

IV.2. ,

IV.3. .

Eslatma. Ushbu aksiomalar sistemasi P.S.Novi­kov tomonidan kiritilgandir.
Shuni ham qayd qilamizki, har xil mulohazalar hisobi sistemalari mavjud bo‘lib, ular bir-biridan, odatda, aksiomalar sistemasining, aksiomalarda qatnashuvchi logik operatsiyalarning, keltirib chiqarish qoidalarining tanlanishi bilan fard kiladi.

Masalan, 1946 pili mashxur nemis matematiki va lo­giki D. Gilbert taklif etgan mulohazalar hisobi 4 ta aksiomadan iborat bo‘lgan sistemaga asoslangan bo‘lib, bu aksiomalarda fadat logik operatsiyalar qatnashadi. Gilberg aksiomalari quyidagilardir:

1. 
   
   ,
   
2. 
   
   ,
   
3. 
   
   ,
   
4. 
   
   .
   

Bundai, tashdari, S. Klini, Dj. Rosser,S Meredit, G. Frege, Y. Lukasevich, Dj. Niko va boshkalar taklif etgan sistemalar ham keng tarqalgandir. Bulardan Dj.Rosser aksiomalari sistemasini ko‘rsatish bilan chegaralanamiz:

1. 
   
   ,
   
2. 
   
   ,
   
3. 
   
   .
   

Keltirib chiqarish qoidalari quyidagilardir:

1°. O‘rniga qo‘yish qoidasi. A propozitsional o‘zgaruvchi, – ixtiyoriy formula bo‘lsin. U holda formuladan unga kirgan A propozitsional o‘zgaruvchini formula bilan almashtirish yordamida formula kel­tirib chiqariladi.
2°. Modus ponens (xulosa qilish qoidasi).
va formulalardan formulani keltirib chiqarish mumkin.

O‘rniga qo‘yish va Modus ponens qoidalarini mos ravishda quyidagicha belgilash mumkin:

; .

Ba’zan 1º o’rniga umumlashgan o’rniga qo’yish qoidasidan foydalaniladi.

3º. propozitsional o’zgaruvchilar, – ixtiyoriy formulalar bo’lsin. U holda formuladan unga kirgan propozitsional o’zgaruvchilarni mos ravishda lar bilan almashtirib, formulani keltirib chiqarish mumkin, ya’ni

.

va lar keltirib chiqarish operatorlari deyiladi.