Алгебра ва сонлар назарияси

Identiv o`quv maqsadlari:
1. Chiziqli fazo tushunchasiga ega bo`ladi.
2. Vektorning bazisdagi koordinatalarini tushunib oladi.


1- savol bayoni
Faraz qilaylik to`plam bo`lsin. . Bu to`plam elementlariga nisbatan aniq bir to`plamni tushunish mumkin. Masalan: elementlari sonlardan, vektorlardan, matrisalardan iborat bo`lishi mumkin. Agar elementlari vektorlardan iborat bo`lsa, vektorlar to`plami deyiladi. Agar elementlari ko`phadlardan iborat bo`lsa, ko`phadlar to`plamidan iborat bo`ladi va hokazolar.
Endi ko`phadlar to`plami qanday bo`lmasin uning elementlarini «vektorlar» deb ataymiz. Bu «vektor» tushunchasi, ya’ni elementlarni «vektor» deb atash keng ma’noda tushuniladi.
Ta’rif: Agar to`plamda ikki vektorning (elementning) yig’indisi va biror vektorni songa ko`paytmasi tushunchasi kiritilgan bo`lib quyidagi shartlar:
1.
2.
3.
4. -nol vektor deyiladi.
5. -vektor vektorga qarama-qarshi deyiladi.
6.
7. ( -sonlar)
8.
bajarilsa, u holda bunday to`plam vektorlarning chiziqli fazosi deyiladi.
Agar shu shartlardan birortasi bajarilsa, u holda to`plam chiziqli fazo deyiladi.
Misollar: 1. to`plam tekislikda yotuvchi geometrik ma’nodagi vektorlar to`plami bo`lsin.

x_k x_k

x_k+ x_s

x_s x_s
Bu qaralayotgan to`plam chiziqli fazodan iborat.
2. to`plam -chi tartibli determinanti 0 dan farqli bo`lgan kvadrat matrisadan iborat bo`lsin.

Ikki matrisaning yig’indisi deb ularning mos elementlarining yig’indisiga aytiladi. sonni ga ko`paytirish uchun matrisaning hamma elementlari λ ga ko`paytirish kerak. Bu qabul qilingan amallarga ko`ra 1,2,3 shartlarni tekshhirish qiyin emas. 4 shart uchun 0 dan iborat bo`lgan matrisa qaraladi.5 shart uchun ixtiyoriy matrisaga qarama-qarshi matrisa sifatida hamma elementlari qarama-qarshi ishora bilan olinadi. Demak, matrisalar to`plami chiziqli fazoni tashkil etadi.
3. Darajasi n dan oshmaydigan ko`phadlarni qaraylik;

ko`phadlarni qo`shish, songa ko`paytirishni oddiy ma’noda ko`ramiz. Bu to`plam ham chiziqli fazoni tashkil etadi.
4. segmentda uzluksiz bo`lgan funksiyalar to`plamini olib qaraylik.
Ixtiyoriy funksiya segmentda uzluksiz.
Ikki funksiyani qo`shish va songa ko`paytirishni oddiy ma’noda qaraymiz. Demak, uzluksiz funksiyalar to`plami ham chiziqli fazoni tashkil etadi.

4. 
   M to`plam XOY tekislikning faqat 1-chi chorakda yotuvchi vektorlardan iborat bo`lsin. Bu yyerda 5-shart bajarilmaydi.
   

F araz qilaylik, biror chiziqli fazo bo`lsin, bu chiziqli fazoda n ta vektorni olib qaraylik.
(1)
Ta’rif. Agar hech bo`lmasa bittasi 0 dan farqli bo`lgan
(2)
sonlar mavjud bo`lib,
(3)
tenglik bajarilsa, u holda (1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan deyiladi.
Ta’rif. Agar (3) tenglik faqat
(4)
bo`lgandagina bajarilsa, u holda (1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’lanmagan deyiladi.
Fazodan olingan ixtiyoriy n-ta vektoprlar sistemasi chiziqli bog’langan yoki bog’lanmagan bo`lishi mumkin. Ular haqida quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar x₁, x₂, …, x_n vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo`lsa, u holda ulardan bittasini qolganlari orqali ifodalash mumkin.
Isbot. Faraz qilaylik (1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo`lsin. Demak (3) tenglik larning birortasi 0 dan farqli bo`lganda o`rinlidir. Buni e’tiborga olib (3) ni quyidagicha yozamiz. Aniqlik uchun deb qaraylik.
(5)
Bu (5) tenglik vektorni qolganlari orqali ifodalashdan iboratdir.
Ta’rif. Agar R fazoda n ta vektor chiziqli bog’lanmagan bo`lsa, u holda R fazo n o`lchovli chiziqli fazo deyiladi va R_n deb belgilanadi.
Faraz qilaylik (1a) chiziqli bog’lanmagan bo`lsin.
(6) chiziqli bog’langan bo`lsin. U holda (1a) chiziqli erkli deyiladi. Endi (6) sistema chiziqli bog’langan bo`lganligi uchun itsbotlangan teoremaga asosan ularning bittasini qolganlari orqali ifodalash mumkindir. Shuning uchun ni qolganlari orqali ifodalaymiz.
(7). Bu (7) vektorning (Ia) ifodalanishi deyiladi.
Ta’rif. Rn fazoning n ta chiziqli bog’lanmagan vektorlar to`plami bu fazoning bazisi deyiladi.
Shunday qilib, agar R fazoda bazis vektorlar soni n bo`lsa, u holda bunday fazo n o`lchovli fazo deyiladi va deb belgilanadi.
Masalan, tekislikda vektorlar fazosi 2 o`lchovli fazoni tashkil etadi. fazo fazo to`g’ri chiziqlar ustida yotuvchi vektorlar fazosi bo`lib bir o`lchovlidir.