Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo’lgan formulalar

1. Gauss tipidagi kvadratur formulalar. Oldingi paragrafda n nuqtali interpolyatsion formula
(3.1)
ning tugun nuqtalari [a, b] oraliqda qanday joylashanliklari dan qat`iy nazar, (n-1) - darajali kop`hadlarni aniq integrallashligini ko`rgan edik. Chekli [a, b] oraliq va
uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi: x<sub>1,</sub> x<sub>2</sub>,,…,х<sub>п</sub> tugunlar shunday tanlansinki, (3.1) formula mumkin qadar darajasi eng yuqori bo`lgan ko`phadlarni aniq integrallasin. (3.1) formulada n ta parametr-tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo`li bilan uning aniqlik darajasini n birlikka orttirishini kutish mumkin. Haqiqatan ham x_1, x₂,,…,х_п tugunlarni maxsus ravishda tanlash orqali (3.1) formulaning darajasi 2n - 1 dan ortmaydigan barcha f(x) ko`phadlar uchun aniq bo`lishiga erishish mumkinligini Gauss ko`rsatdi. Keyinchalik Gaussning natijasi ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalari uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar deyiladi.
Qulaylik uchun х<sub>k</sub> tugunlar o`rnida _n(х) = (х – х₁)(х - х₂)...(х –х_n) ko`phad bilan ish ko`ramiz. Agar х_k lar ma`lum bo`lsa, u holda _п(х) ham ma`lum bo`ladi va aksincha. Lekin х_k larni topishni _п(х) ni topish bilan almashtirsak u holda biz _п(х) ni ildizlari xaqiqiy, har xil va ularning [a, b] oraliqda yotishini ko`rsatishimiz shart.
1-teorema. (3.1) kvadratur formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha ko`phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir: 1) u interpolyatsion va 2) _п(х)ko`phad [a, b] oraliqda (х) vazn bilan darajasi n dan kichik bo`lgan barcha Q(x) ko`phadlarga ortogonal bo`lishi kerak:
(3.2)
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha kop`hadlarni aniq integrallasin. U holda 2-§ dagi teoremaga ko`ra u interpolyatsiondir. Endi darajasi n dan kichik bo`lgan ixtiyoriy Q(x) kop`hadni olib, f(x) = _п(х) Q(x)deb olamiz. Ko`rinib turibdiki, f(x) darajasi 2n-1 dan ortmaydigan kop`had. Shuning uchun ham uni (3.1) formula aniq integrallaydi:

Bu yerda, (x )= 0 (к = ) ni hisobga olsak (3.2) tenglik kelib chiqadi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik (3.1) formula interpolyatsion va _n(х) ko`phad darajasi n dan kichik bo`lgan barcha ko`phadlarga (х) vazn bilan ortogonal bo`lsin. Endi (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha f(x) ko`phadlarni aniq integrallashini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham f(x) ni _n(х) ga bo`lib,
f(x)= <sub>n</sub>(x)Q(x) + r(x) (3.3)
ni hosil qilamiz, bu yerda Q(x) va r(x) larni darajalari n dan kichik. Bu tenglikning har ikkala tomonini (х) ga ko`paytirib, a dan b gacha integrallaymiz:
p(x)f(x)dx =
Teorema shartiga ko`ra o`ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral esa

chunki r(x) darajasi n dan kichik ko`phad va (3.1) formula interpolyatsiondir. Demak,

Lekin, (3.3) ga ko`ra r(x_k) =f(x_k). Shuning uchun

Shu bilan teoremaning yetarli sharti ham isbot bo`ldi.

_п(х) ko`phad (х) vazn bilan [a, b] oraliqda darajasi n dan kichik bo`lgan barcha ko`phadlar bilan ortogonal va bosh koeffisiyenti birga teng bo`lganligi uchun, funksiyalarni yaqinlashishi natijalariga ko`ra, bunday <sub>п</sub>(х) ko`phad yagona hamda uning ildizlari haqiqiy, har xil va [a, b] oraliqda yotadi.
Demak, agar (х) vazn [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda har bir n = 1,2,..., uchun 2n- 1 darajali ko`phadni aniq integrallaydigan yagona (3.1) kvadratur formula mavjud. quyidagi teorema (3.1) formulaning eng yuqori aniqlik darajasi 2n-1 ekanligini ko`rsatadi.