2-teorema. Agar (х) vazn [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda xk va Ak lar har qanday tanlanganda ham (3.1) tenglik 2n darajali barcha ko`phadlar uchun aniq bo`la olmaydi.
Isbot. Kvadratur formulaning tugunlarini х1, х2, ..., хп lar orqali belgilab, quyidagi
f(x) = = [(х – х1)(х - х2)...(х – хn)]2
2n - darajali ko`phadni qaraymiz.
Ko`rinib turibdiki, (3.1) formula bu ko`phad uchun aniq emas, chunki
va ixtiyoriy Ак koeffisiyentlar uchun
2. Gauss tipidagi kvadratur formula koeffisiyentlarining xossasi. Gauss tipidagi kvadratur formulaning barcha koeffisiyentlari Ак musbatdir. Haqiqatan ham, 2n-2 darajali
f(x)=
ko`phad uchun quyidagi
t engliklar bajarilishi ayondir. Bu ko`phad uchun Gauss tipidagi formula aniqdir:
Bundan A = (3.4)
O`z navbatida bundan barcha Ак larning musbatligi kelib chiqadi.
3. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi
3 -teorema. Agar [a,b] oraliqda f(x) funksiya 2n - tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, Gauss tipidagi kvadratur formulaning qoldiq hadi
uchun quyidagi tenglik o`rinlidir:
Rn(f)= (3.5)
Isbot. Ushbu shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadi H(x) ni tuzamiz. Funksiyalarni interpolyatsiyalash formulasiga ko`ra Ermit interpolyatsion formulasi qoldiq hadi bilan birga quyidagicha yoziladi:
(3.6)
bu yerda х ga bog`liq bo`lib, x va interpolyatsiya tugunlari х , х2, ...,хn
joylashgan oraliqda yotadi. Agar [a, b] ni hisobga olsak, u holda [a, b]. Endi (3.6) ning har ikki tomonini (х) ga ko`paytirib, a dan b gacha integrallaymiz:
(3.7)
Oxirgi integralning mavjudligi holgan ikki integrallarning mavjudligidan kelib chiqadi. H(x) kop`hadning darajasi 2n-1 bo`lgani uchun, o`ng tomondagi birinchi
i ntegralni
k vadratur yig`indi bilan almashtirish mumkin:
B undan ko`rinadiki,
Endi (х) (x) ekanligini nazarda tutib, o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llasak, qoldiq had uchun (3.5) formula kelib chiqadi.
Dostları ilə paylaş: |
