Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo’lgan formulalar

4. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yakinlashishi.
Yuqorida, (x)>0 bo`lsa, barcha n- 1,2,... uchun Gauss tipidagi
(x)f(x)dx = + R<sub>n</sub>(f)
k vadratur formulaning mavjud bo`lishini ko`rib o`tdik. Agar
tenglik bajarilsa, u holda f(x) funksiya uchun kvadratur formula yaqinlashadi deyiladi.
4-teorema. Agar [a, b] oraliq chekli va f(x) funksiya bu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda Gauss tipidagi kvadratur formula yaqinlashadi.
Isbot. da
R<sub>n</sub>(f) =
ekanligini isbotlash kerak. [a, b] oraliq chekli va bu oraliqda f(x) uzluksiz bo`lganligidan Veyershtrass teoremasiga ko`ra berilgan har bir >0 son uchun shunday P(x) ko`phad mavjudki, ixtiyoriy x [a, b] uchun
(3.8)
t engsizlik o`rinli bo`ladi. R_n(f) ni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz
(3.9)

Kvadrat qavslardagi ifoda P(x) ko`phad uchun kvadratur formulaning R<sub>n</sub>(f) qoldig`idan iboratdir. Agar bu kop`hadning darajasini N orqali belgilasak, u holda 2n - 1 > N bo`l ganda R_n(P) = O bo`ladi. Endi (3.9) dagi holgan ifodalar (3.8)

t engsizlikka ko`ra quyidagicha baholanadi:

D emak, 2n - 1>N bo`lganda

bo`ladi. Shu bilan teorema isbotlandi.
Umumiy ko`rinishdagi (Gauss tipidagina emas) kvadratur formulalar ketma-ketligini

qaraymiz. Bu yerda [a, b] oraliq chekli va bu oraliqda (х) vazn integrallanuvchi ixtiyoriy funksiya bo`lsin. Bu kvadratur formula uchun quyidagi teorema o`rinlidir.

5 -teorema. f(x) [a, b] oraliqda uzluksiz bo`lgan ixtiyoriy funksiya bo`lsin. U holda

tenglikning bajarilishi uchun quyidagi ikki shartning bajarilishi zarur va yetarlidir:

1) f(x) ixtiyoriy ko`phad bo`lganda, (3.10) tenglik o`rinli.
2 ) Shunday L son mavjudki, uning uchun:

Agar kvadratur formula interpolyatsion, uning А koefisientlari barcha k va n lar uchun musbat bo`lsa, u holda teorema shartlari bajariladi. Shunday qilib, 4-teorema 5-teoremaning xususiy holidir.