Amaliy mashg’ulot Eng kichik kvadratlar usuli

Namunaviy masalalar va ularning yechimlari


_{1-misol. Ushbu}


chegaraviy masalaning taqribiy yechimini Galyorkin va Eng kichik kvadratlar usullari yordamida toping_{.
Yechish. Berilgan chegaraviy masala quyidagi aniq yechimga ega:}

Chegaraviy masala yechimini Galyorkin usuli yordamida topamiz.

Avval bo‘lsin. Yechimni ko‘rinishda izlaymiz.
U holda (9) sistema quyidagi ko‘rinishga keladi
yoki .
Shunday qilib, , , bundan esa quyidagini hosil qilamiz:

Integralni hisoblagandan keyin, , bunda esa ega bo‘lamiz.
Berilgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi esa bo‘lsin. Chegaraviy masala yechimini ushbu ko‘rinishda izlaymiz
.
U holda (9) sistema quyidagi ko‘rinishni oladi

Shunday qilib,
, ,
,

bulardan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz:


Integrallarni hisoblab, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Bundan , larga ega bo‘lamiz.
Chegaraviy masala taqribiy yechimi quyidagicha bo‘ladi:

Yechimlarni taqqoslash uchun diskret nuqtalarda aniq va taqribiy yechimlar orasidagi o’rtacha kvadratik xatolikni quyidagi formula yordamida hisoblaymiz:

Endi chegaraviy masalani integralli eng kichik kvadratlar usuli bilan yeachamiz.
Chegaraviy masala yechimi quyidagi ko‘rinishda izlanadi
.
Shunday qilib va bo‘lsa, (8) sistema ushbu ko‘rinishni oladi

bu yerda





va ga nisbatan quyidagi chiziqli sistemaga ega bo‘lamiz:

Bu sistema , yechimga ega.
Chegaraviy masala taqribiy yechimi quyidagi ko‘rinishni oladi: