Amaliy mashg’ulot Eng kichik kvadratlar usuli

2. Bazis funksiyalarni tanlash

Taqribiy-analitik usullarni (1)-(2) masalani yechishga muvaffaqiyatli qo‘llash (4) taqribiy yechimdagi bazis funksiyalarning tanlanishiga bog’liq. Biz bu yerda umumiy (1)-(2) chegaraviy masalani taqribiy-analitik usullar yordamida yechish uchun bazis funksiyalarni tanlashni qaraymiz [3].

sifatida quyidagi chiziqli funktsiyani tanlaymiz:
. (11)
Yuqorida ta’kidlanganidek (2) chegaraviy shartni qanoatlantirishi kerak, ya’ni ushbu algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi:
(12)
larda funksiyalarni bo’lganda quyidagi bir parametrli ko‘rinishda
(13)
umumiy holda esa
(14)
ko‘rinishda tanlash mumkin. Ko‘rinib turibdiki, bu funksiyalar (3) bir jinsli chegaraviy shartning birinchisini istalgan qiymatida qanoatlantiradi. (13) va (14) ni (3) shartning ikkinchisiga qo‘yib, (13), (14) larga mos larni topamiz
(15)
(16)
Eng kichik kvadratlar usuli


Integralli eng kichik kvadratlar usuli

Bu usulda tafovut kvadratidan tuzilgan ushbu

integralning minimal qiymati izlanadi.
Integral minimumga erishishi uchun quyidgi shart bajarilishi zarur:
(8)
(8) shartlar (5) ga asosan , larga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keladi:
(9)
bunda - skalyar ko‘paytma.
Agar funktsiyalar sistemasi kesmada chiziqli erkli bo‘lsa, u holda (9) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.


Diskret eng kichik kvadratlar usuli

Bu erda integralning minimumi o‘rnida

yig‘indining minimal qiymati izlanadi. Bunda – ixtiyoriy nuqtalar, .
Bu usulda ham larga nisbatan (9) ko‘rinishdagi sistemani hosil qilamiz. Faqat skalyar ko‘paytma bu holda

ko‘rinishida topiladi.
Agar bo‘lsa, u holda bu usul kollokatsiya usuliga keladi.