Amaliy matematika” fakulteti 5130200 – “Amaliy matematika” yo‘nalishi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI


MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETINING JIZZAX FILIALI

“Amaliy matematika” fakulteti

5130200 – “Amaliy matematika” yo‘nalishi
4-bosqich 101-20 guruh talabasi
Umirov Rahimjonning
Sonli usullar fanidan
Mustaqil ishi

Fan o‘qituvchisi: Abdunazarov R
Hisoblash metodlari asosida amaliy matematika fanining ayrim masalalarini yechish.
Haqiqatda mavjud obyektlarning asosiy xossalarini ularning matematik modellari yordamida o‘rganishning klassik vositasi bu analitik usullar bo‘lib, ular aniq yechimni matematik formulalarda ifodalash imkonini beradi. Bu usullar hozirgi kunda ham masalani yechish haqida yetarlicha aniqlikdagi to‘la axborotni bermoqda va ular o‘z amaliy ahamiyatini yo‘qotgani yo‘q. Ammo, afsuski, ularning qo‘llanilish sohasi juda cheklangan. Shuning uchun, odatda, sonli usullarga yoki hisoblash usullariga murojaat qilinadi.
Hisoblash usullari – bu matematik modelga mos algoritmlarni qo‘llashga asoslangan amaliy matematika masalalarini taqribiy yechish usullari. Hisoblash usullari analitik usullardan farqli ravishda umumiy yechimni emas, balki xususiy yechimni beradi. Bunda sonli va mantiqiy massivlar ustida yetarli sondagi arifmetik va mantiqiy amallar bajarilishi talab qilinadi. Hisoblash usullari fanining sonli tahlil qismi ikki turdagi sonli usullarga bo‘linadi: 1) to‘g‘ri usullar (ma’lum bir sondagi amallar bilan yechimni topishga asoslangan usullar); 2) iteratsion usullar (qaytariluvchi (siklik) jarayonlardan foydalanishga asoslangan va ketma-ket yaqinlashuvchi natijalarni olish imkonini beruvchi usullar). Hisoblash usullariga ehtimoliy usullar (yechimni tasodifiy izlash) ham kiradi.
«5130200 – Amaliy matematika va informatika» ta’lim yo‘nalishlari bakalavr talabalariga hisoblash usullari fanini mukammal o‘rganishlarida, ularning mustaqil bilim va ilmiy izlanish ko‘nikmalarini hosil qilishlarida yaqindan yordam beradi.
Ilmiy tadqiqotlar tarixida dastlabki modellashtirish usullaridan biri o‘xshashlik usulidir. Uning ma’nosi shundaki, o‘rganilayotgan jarayon tajribaviy sharoitlarda boshqa «kichik masshtabda» amalga oshiriladi. Bunga misol sifatida samolyot qanotlarining havo oqimini kesib o‘tish jarayonini o‘rganishni keltirish mumkin. Shu maqsadda qanotning kichiklashtirilgan nusxasi yaratiladi va aerodinamik quvurga joylashtiriladi. Havo oqimini o‘tkazish yo‘li bilan qanotning zarur xarakteristikalari tajribada aniqlanadi. Obyekt bilan bevosita tajriba o‘tkazish qimmatga tushadigan, yoki uni o‘tkazish mumkin bo‘lmaydigan yoki bunday tajriba kutilmagan natijalarga olib keladigan hollar (sog‘liq va ekologiya muammolari, tabiiy ofatlar) modellashtirish jarayonida alohida ahamiyatga ega. Real mavjud bo‘lmagan obyektlarni ham modellashtiradilar
Bunga misol sifatida texnik qurilmalar, uchuvchi apparatlarni keltirish mumkin. Bunday hollarda modelni yaratish uchun zamonaviy matematika metodlari va hisoblash vositalarini jalb qilgan holda ilmiy tadqiqotlar o‘tkazish albatta zarur bo‘ladi. Modellashtirish jarayoni uchta elementni o‘z ichiga oladi: 1) subyekt (tadqiqotchi); 2) tadqiqot obyekti; 3) o‘rganayotgan subyekt va o‘rganilayotgan obyekt orasidagi munosabatni o‘rnatuvchi model. Modelni qurishning dastlabki bosqichida orginal-obyekt haqida muayyan bilimlar talab qilinadi. Model asosida bilish imkoniyatlari shunga tayanadiki, model orginal-obyektning qandaydir muhim tomonlarini aks ettiradi. Orginal va modelning yetarlicha o‘xshashligi va umuman modelning zarurligi masalasi har bir vaziyat uchun alohida tahlilni talab etadi. Shunday qilib, modellashtirilayotgan obyektning biror tomonini o‘rganish uning boshqa tomonlarini aks ettirishdan voz kechish evaziga amalga oshiriladi. Shuning uchun istalgan model orginalni faqat qat'iy cheklangan ma’noda almashtirishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, aynan bitta obyekt uchun bir qancha «maxsus» modellar yaratilishi mumkinki, ular tadqiq qilinayotgan obyektning muayyan tomoniga e’tiborni jalb etishi yoki obyektni turli darajada aniqlashtirilgan holda tavsiflashi mumkin. Modellashtirish jarayonining ikkinchi bosqichida model mustaqil tadqiq obyekti sifatida ishtirok etadi. Bunday tadqiqning ko‘rinishlaridan biri eksperiment olib borishdir. Bunda berilgan model faoliyati uchun zarur shartlar o‘zgartiriladi va shunga mos holda modeldagi o‘zgarishlar kuzatiladi. Bu bosqich natijasi model haqida to‘planadigan bilimlar hisoblanadi. Uchinchi bosqichda to‘plangan bilimlar modeldan orginalga ko‘chiriladi va obyekt haqida bilimlar to‘plami hosil qilinadi. Bu jarayon muayyan qoidalar asosida amalga oshiriladi. Model haqidagi bilimlar orginal-obyektning modelda aks etmagan yoki modelni qurishda o‘zgartirilgan xususiyatlarini hisobga olgan holda aniqlashtirilishi lozim. Biz yetarlicha ishonch bilan qandaydir natijani modeldan orginalga o‘tkaza olishimiz uchun bu natija orginal va modelning o‘xshashlik belgilari bilan bog‘liq bo‘lishi kerak. To‘rtinchi bosqichda modellar yordamida olinadigan bilimlarni amaliy tekshiruvdan o‘tkazish va ularni obyektning umumlashgan nazariyasini qurish, uni o‘zgartirish yoki boshqarishda qo‘llash amalga oshiriladi. Modellashtirish – bu siklik jarayondir, ya’ni dastlabki to‘rt bosqichli sikldan so‘ng ikkinchi va uchinchi sikllar kelishi mumkin. Bunda tadqiq qilinayotgan obyekt haqidagi bilim doirasi kengaytiriladi va aniqlashtiriladi, berilgan model esa borgan sari mukammallashib boradi. Obyekt haqidagi bilimning yetarli emasligi va modelni qurishdagi xatolar sababli kelib chiquvchi kamchiliklar birinchi sikldan so‘ng aniqlansa, ular keyingi siklda to‘g‘rilanishi mumkin. Shunday qilib, modellashtirish metodologiyasida o‘z-o‘zini rivojlantirishning katta imkoniyatlari mavjud
Kompyuter modellarini tuzishda tizimli yondashuvdan foydalaniladi. Matematik modelni qurish. Matematik model o‘rganilayotgan hodisaning cheksiz murakkabliklarini, uning foydali xossalarini saqlagan holda, biz xoxlagandek sodda, yetarlicha to‘la tavsiflab berishi, matematikada mavjud vositalar bilan yetatlicha sodda tahlil qilinishi va kompyuterda ishlanilishi kerak. Bunda o‘rganilayotgan hodisaning juda ko‘p «xarakteristikalari» va u haqidagi «axborotlar» ichidan eng asosiylarini tanlab olish, ularning ikkinchi darajalilarini va ahamiyatsizlarini tashlab yuborish lozim bo‘ladi. Odatda, asosiy qonuniyatlarni aniqlashtirish maqsadida hodisaning asosiy «xarakteristikalari» biror miqdorlar (sonli qiymatlar: o‘zgaruvchilar, vektorlar, matritsalar, funksiyalar va boshqa) bilan taqqoslanadi va ular chuqur tahlil qilinadi. Yangi muvaffaqiyatli modelni yaratish – bu shu fanning katta yutug‘i, uning rivojidagi eng muhim bosqich. Umuman olganda, modelni qurishda ikkita tamoyildan foydalaniladi: deduktivlik (umumiydan xususiyga qarab, ya’ni oldindan ma’lum yoki fundamental modelning xususiy holi qaraladi; masalan, Nyuton qonuniga ko‘ra erkin tushayotgan jismning modelini qurish) va induktivlik (xususiydan umumiyga qarab, ya’ni avval gipotezalar taklif qilinadi va murakkab obyektning dekompozitsiyasi tuziladi, keyin esa tahlil va sintez o‘tkaziladi; masalan, atom tuzilishi modeli, Tomson, Rezerford, Bor modellari).