Amaliy matematika va intellektual texnologiyalar

Darajali qatorlar yordamida integrallash
Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(3.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

(3.2)

Tenglamaning o’ng tomoni  boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin. 

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(3.3)

Bu erda |x-x₀|  h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (3.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol. 
y^”=x²u (3.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. 
Yechish. Bu misol uchun (3.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(3.5)
(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’

y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’

y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’

y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾

y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾

y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0; 

y⁽⁸⁾(0)=60.
Bularni (3.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (3.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin. 
Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (3.7)
Bundan ikki marta hosila olsak

y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1... 

u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2... 
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak

u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ 
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:

2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–

–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz 

2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+

+(56a₈–a₄)x⁵...=0.
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin


u=1+ x⁴+ x⁸...

3. RUNGE-KUTTA USULI

Runge - Kutta usuli ko`p jihatdan Eyler usuliga o`xshash, ammo aniqlik darajasi eyler usuliga nisbatan yuqori bo`lgan usullardan biridir.

Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni echish juda qulay. CHunki, bu usul orqali noma`lum funktsiyaning x<sub>i+1</sub> dagi qiymatini topish uchun uning x<sub>i</sub> dagi qiymati aniq bo`lishi etarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.
Birinchi tartibli y=f(x,y) differentsial tenglama uchun x=x<sub>i</sub> (i=0,1,2,…n) y=y<sub>i</sub> ma`lum bo`lsin. Bu erda y<sub>i</sub> boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin. Noma`lum funktsiya y ning x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1=y_i+1(x) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:
 (3.7)
bu erda
 (3.8)
i=0,1,2,…,n-1,  - integrallash qadami.
Tenglamaning echimi qidirilayotgan [a,b] kesma  (i=0,1,2,…,n) nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan. i ning ha bir qiymati uchun (3.7) va (3.8) dagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya y ning qiymatlarini (tenglamaning echimini) quyidagi formuladan topamiz:
 (3I’m.9)
Misol: Runge-Kutta usuli bilan  tenglamaning [1,8; 2,8] kesmada aniqlangan va u(1,8)=2,6 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi echimini h=0,1 qadam bilan hisoblang.
Echish:
f(x,y)=x+cos( ,

  ,
 ,
 ,

va hokazo.
Qiymatlar jadvali

i	0	1	2	3	4	5
	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3
	2,6	2,0259	3,0408	3,2519	3,4861	3,4861
I	6	7	8	9	10
	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8
	3,9260	4,1478	4,3700	4,5971	4,9172

Runge – Kutta usuli
Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.Birinchi tartibli differensial tenglama y^’=f(x,y) uchun x=x_i da y=y_i (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “u_i” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin. 
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], x_i=x₀+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
Noma’lum funktsiya “u” ni x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1= y(x_i+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:

K ₁⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i,y_i)

K₂⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₁⁽ⁱ⁾/2)

K₃⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h/2, y_i+K₂⁽ⁱ⁾/2) (7.5.1)

K₄⁽ⁱ⁾=hf_i(x_i +h, y_i+K₃⁽ⁱ⁾)

Funktsiyaning orttirmasi  y_i ni quyidagi formuladan topiladi

y_i=(K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) / 6 (3.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (3.1) va (3.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

y_i+1=y_i+ y_i , (i=0,1,2, ...n) (3.3) 

Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

1. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

   
   

2. “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u^’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.

   
   

3. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.

   
   
4. 
   
   K₁⁽⁰⁾ ni 1 ga, K₂⁽⁰⁾ va K₃⁽⁰⁾ larni 2 ga, K₄⁽⁰⁾ ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
   

I-IV jarayonni Kⁱ ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va  u=(1/6) (K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) ni topamiz. Va nihoyat y_i+1=y_i+ y_i topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz. 

1-Jadval