Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

Teorema (Koshi). funksiya nuqtada chekli limitga ega
bo’lishi uchun bu funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilishi
zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. da funksiya chekli limitga ega bo’lib,
bo’lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko’ra son olinganda ham
ga asosan shunday son topilsaki, argument ning
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xususan, ushbu

munosabatlar o’rinli bo’ladi. Bundan

tengsizlik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiya uchun

nuqtada Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Yetarliligi. funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilsin,
yani son olinganda ham shunday son topiladiki, ning
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda
funksiya da chekli limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
nuqta to’plamning limit nuqtasiligi sababli bu to’plamning
nuqtalaridan ga yaqinlqshuvchi ketma–ketlik tuzish
mumkin bo’ladi. Ketma–ketlik limiti ta’rifiga ko’ra yuqorida olingan
son uchun shunday son topiladiki, barcha lar va uchun va tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu
tengsizliklarning bajarilishidan esa, shartga ko’ra

bo’ladi. Demak, fundamental ketma-ketlik. U yaqinlashuvchi. Biz

ketma-ketlik limitini bilan belgilaylik, Endi
to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-
ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan
tizilgan mos ketma-ketlik ham o’sha ga intilishini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, da bo’lsin.
va ketma-ketliklar hadlaridan ushbu

ketma-ketlik tuzaylik. Ravshanki, bu ketma-ketlik ga intiladi. U holda

ketma-ketlik fundamental bo’lib, chekli limitga ega. Bu limitni bilan
belgilaylik. Agar va ketma-ketliklarning har biri ketma-
ketlikning qismiy ketma-ketliklari ekanini hisobga olsak, u holda ,
bo’lishini topamiz.
Demak,

Shunday qilib, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti

bajarilishidan to’plam nuqtalaridan tuzilgan va ga intiluvchi har
qanday ketma-ketlik olinganda ham mos
ketma-ketlik bitta songa intilishini topdik. Bu esa funksiya limitining Geyne
ta’tifiga ko’ra funksiya nuqtada chekli limitga ega bo’lishini
bildiradi.►