Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi



Yüklə 1,33 Mb.
səhifə2/2
tarix12.06.2023
ölçüsü1,33 Mb.
#129173
1   2
Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

Masalan,


0 5
x2dx   x2dx 5 0



Endi a b

bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy


f (x)

funksiya uchun



a
f (x)dx  0
a
(5)



tenglik o’rinli.


Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega, demak, uning yuzasi nolga teng.
  1. Aniq integralning asosiy xossalari


1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar A const
bo’lsa, u holda



b b
Af (x)dx A f (x)dx

  1. a

Isboti.

(1)




b n
Af (x)dx  lim Af (i )xi
a max x0 i1
n b
A lim f (i )xi A f (x)dx
max x0 i1 a

  1. xossa. Bir necha funksiyalarning algebraic yig’indisidan olingan aniq integral qo’shiluvchilardan olingan integrallarning algebraic yig’indisiga teng. Ikki qo’shiluvchi bo’lgan holda




  1. b b

f1(x) f2 (x)dx f1(x)dx f2 (x)dx
(2)

  1. a a

Isboti.




  1. n

f1(x) f2 (x)dx lim [ f1(i )
f2 (i )]xi

  1. max x0 i1





n
 lim
n
f ( )x
f ( )x



max x0 1 i i i1
2
i1
i i



n n
 lim f1(i )xi  lim f2 (i )xi
max x0 i1 max x0 i1


b b
f1(x)dx f2 (x)dx
a a



Qo’shiluvchi soni ixtiyoriy bo’lganda ham shunaqa isbotlanadi.





1- va 2- xossalar a b

hol uchun isbotlangan bo’lsada, ular a b


holda ham o’rinli.

Ammo quyidagi xossa faqat a b


holda o’rinli:

  1. xossa. Agar [a,b]


kesmada ( a b )
f (x)
va (x)

funksiyalar


f (x)  (x)

shartni qanoatlantirsa, u holda





  1. b

f (x)dx (x)dx
(3)

  1. a



Isboti. Quyidagi ayirmani qaraymiz:





  1. b b

(x)dx f (x)dx [(x) 
f (x)]dx

a a a


 lim


max x0
[(i ) 

n
i1
f (i )]xi





Bu yerda har bir ayirma,
(i ) 
f (i )  0 , xi
 0 . Demak, yig’indining har bir qo’shiluvchisi nomanfiy, butun

yig’indi ham nomanfiy va uning limiti ham nomanfiy, ya’ni



b
[( x) 
a

yoki
f ( x)]dx  0




b b
( x)dx

  1. a

f (x)dx  0

bu yerdan (3) tengsizlik kelib chiqadi.



Agar
f (x)  0
va (x)  0
bo’lsa, aytib o’tilgan xossa geometric ma’noga ega (213-rasm).
(x) 
f (x)

bo’lganligi uchun emas.
aA1B1b egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi
aA2B2b egri chiziqli trapetsiya yuzasidan kata

  1. xossa. Agar m va M - bo’lsa, u holda

f (x)
funksiyaning [a,b]
kesmadagi eng kichik va eng kata qiymatlari bo’lib, a b

b
m(b a) 
a


f (x)dx M (b a)

(4)


Isbot. Shartga ko’ra


m f (x)  M

(3) xossa asosida topamiz:





  1. b b

mdx f (x)dx M dx
(4’)

a a a

Ammo



b
mdx m(b a)
a
b
M dx M (b a)
a

Bu ifodalarni (4’) tengsizlikka qo’shib (4) tengsizlikni olamiz.



Agar yuzi
f (x)  0
aA1B1b va
bo’lsa, u holda bu xossa geometric talqinga ega (214-rasm): aABb egri chiziqli trapetsiyaning
aA2B2b to’g’ri to’rtburchaklarning yuzalari orasida joylashgan.

  1. xossa. (o’rta qiymat haqida teorema). Agar shunday nuqta topiladiki,

f (x)
funksiya [a,b]
kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada


b
f (x)dx  (b a) f ( )
a

(5)



tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Aniqlik uchun a b

bo’lsin. Agar m va M mos ravishda




f (x) ning [a,b]

kesmadagi eng kichik va eng



kata qiymatlari bo’lsa, u holda (4) formulaga binoan


1 b


a
m b a
f (x)dx M

Bu yerdan




1 b


a
b a
f (x)dx , bu yerda m M



f (x) funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun, u m va M orasidagi hamma qiymatlarni qabul qiladi. Demak,

 (a
b)
biror qiymatida
  f ( )
bo’ladi, ya’ni


b
f (x)dx
a
f ( )(b a)




  1. xossa. Ixtiyoriy uchta a,b,c sonlar uchun



b c b

f (x)dx f (x)dx
f (x)dx
(6)

a a c

Isbot. a c b
deb faraz qilamiz va
f (x)
funksiya uchun [a,b]
kesmada integral yig’indisini topamiz.

Integral yig’indining limiti [a,b] kesmani bo’laklarga bo’lish usuliga bog’liq emas, shuning uchun biz [a,b]


b

kesmalarga shunday ajratamizki, c nuqta bo’linish nuqtasi bo’lsin. So’ngra yig’indilarga ajratamiz:
integral yig’indini ikkita
a


c

b
va
a c





b c b

U holda


f (i )xi f (i )xi f (i )xi
a a c

Oxirgi tenglikda maxxi  0
bo’lganda limitga o’tib (6) munosabatni olamiz.

Agar a b c
bo’lsa, isbotlanganlar asosida yozamiz:



c b c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx

  1. a b

yoki




  1. c c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a a b

Ammo 2-§dagi (4) formulaga asosan




c b
f (x)dx   f (x)dx
b c

Shuning uchun




b c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a a c

215-rasmda 6-xossaning
f (x)  0 , a c b
bo’lganda geometric talqini aks ettirilgan: aABb trapetsiyaning yuzi aACc va cCBb trapetsiyalar

yuzalarining yig’indisiga teng.
  1. Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi




b
f (x)dx
a

Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi.


Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:



x
f (t)dt
a

Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz bilan belgilaymiz:


(x)

Agar



f (t)

- nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda


(x)


x
(x)  f (t)dt
a

miqdor son jihatdan aAXx egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (216-rasm).



x o’zgarganda bu yuza o’zgarishi ochiq ravshan.





(x)
funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara bo’yicha hosila olamiz.


Teorema 1. Agar




f (x)

uzluksiz funksiya va


x
(x)  f (t)dt
a

bo’lsa, u holda



tenglik o’rinli.
'(x) 
f (x)

Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng.

Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy x
orttirma beramiz; u holda topamiz (6-xossa):



xx x xx

(x  x)  f (t)dt f (t)dt
f (t)dt

(x)


funksiyaning orttirmasi


a a x



x xx x
  (x  x)  (x)  f (t)dt f (t)dt f (t)dt

ga teng, ya’ni


a x a


xx
 
x


f (t)dt

Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).



bu yerda miqdor x va x  x
orasida joylashgan.
 
f ( )(x  x x) 
f ( )x


Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz:

x


f ( )x
x
f ( )

Demak,

'(x)  lim   lim


f ( )

Ammo x da


x  0


bo’lganligi uchun


x0 x x0

f (x)
uzliksiz bo’lganligi uchun
lim
x0
f ( )  lim f ( )
 x


Shunday qilib,
'(x) 
f (x). Teorema isbotlandi.
lim f ( ) 
 x
f (x)


Teorema 2. Agar
F (x)
funksiya
f (x)
uzluksiz funksiyaning qandaydir boshlang’ichi bo’lsa, u holda


b
f (x)dx F (b)  F (a)
a

formula o’rinli. Bu formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.


(2)



Isbot.



F (x)


funksiya


f (x)

funksiyaning biror boshlang’ichi bo’lsin. 1-teoremaga ko’ra,


x
f (t)dt
a

funksiya ham




f (x)

funksiyaning



boshlang’ichi bo’ladi. Ammo berilgan funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ichlari bir biridan o’zgarmas C* qo’shiluvchiga farq qiladi.



Endi C* o’zgarmasni toppish uchun bu tenglikda x a


x
f (t)dt F (x)  C*
a

deb olamiz, u holda


(3)



yoki
a


f (t)dt F (a)  C*
a

0  F(a)  C*



Bu yerdan C*  F (a) . Demak,



Endi x b deb olib, Nyuton-Leybnits formulasini olamiz:
x
f (t)dt F (x)  F (a)
a


yoki integrallash o’rniga x ni qo’ysak


b
f (t)dt F (b)  F (a)
a



b
f (x)dx F (b)  F (a)
a


F(b)  F(a) ayirma F boshlang’ich funksiyaning tanlanishiga bog’liq emas.
Agar




a
belgilash kiritsak
F(b)  F(a)  F(x) |b



b

a
f (x)dx F (x) |b F (b)  F (a)
a


Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir.
Yüklə 1,33 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin